איבר הפיך

באלגברה, איבר הפיך הוא איבר של מבנה אלגברי שקיים לו איבר הופכי במסגרת המבנה.

הגדרה פורמלית

יהי $\ S$ מבנה אלגברי עם פעולה בינארית ואיבר יחידה שנסמנו $\ e$.

עבור $\ a\in S$, אם קיים $\ b\in S$ כך ש-$\ ab=e$ אז $\ a$ נקרא איבר הפיך מימין, ו-$\ b$ נקרא ההופכי מימין שלו. אם $\ ba=e$, אז $\ a$ נקרא איבר הפיך משמאל ו-$\ b$ נקרא ההופכי משמאל שלו. איבר שהפיך הן מימין והן משמאל נקרא איבר הפיך דו-צדדי או פשוט איבר הפיך.

בתורת המונואידים

באופן כללי, במבנה אלגברי עם איבר יחידה, לאיבר יכולים להיות הופכיים רבים, הן מימין והם משמאל. אם המבנה הוא מונואיד (כלומר הפעולה הבינארית קיבוצית), אז לאיבר הפיך $\ a$ (דו-צדדי, אך לא חד-צדדי) יש הופכי יחיד, הן מימין והן משמאל, וסימונו $\ a^{-1}$. זאת מהטעם הפשוט שאם ל-$\ a$ יש הופכי מימין $\ b$ והופכי משמאל $\ c$ אז:

$\ b=eb=(ca)b=c(ab)=ce=c$

ההופכי של ההופכי הוא האיבר עצמו.

איבר היחידה הוא תמיד איבר הפיך, שכן הוא ההופכי של עצמו. מונואיד בו כל האיברים הפיכים נקרא חבורה. קבוצת כל האיברים ההפיכים במונואיד היא חבורה, כי היא סגורה; אם $\ a$ ו-$\ b$ הפיכים, אז גם $\ ab$ הפיך ומתקיים:

$\ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$

חבורה זו נקראת חבורת ההפיכים של המונואיד.

בתורת החוגים

איברי חוג (עם יחידה) יוצרים מונואיד ביחס לכפל (ביחס לחיבור הם יוצרים חבורה אבלית וכל איבר הפיך). חבורת האיברים ההפיכים ביחס לכפל נקראת חבורת ההפיכים של החוג. איבר האפס בחוג תמיד אינו הפיך (למעט בחוג הטריוויאלי בו 0 האיבר היחיד ולכן גם איבר היחידה הכפלי והופכי לעצמו) מכיוון שלכל $\ r$ בחוג $\ 0\cdot r=0\neq 1$. מהסיבה הזו חבורת ההפיכים בחוג (לא טריוויאלי) לעולם אינה חבורה ביחס לחיבור. קבוצת האיברים הלא הפיכים היא חבורה ביחס לחיבור אם ורק אם החוג הוא חוג מקומי (ואז היא גם אידאל מקסימלי).

חוג בו כל האיברים מלבד אפס הפיכים נקרא חוג עם חילוק (ניתן להגדיר בו חילוק ככפל בהופכי). אם פעולת הכפל בחוג עם חילוק חילופית, החוג נקרא שדה. משפט היחידות של דיריכלה קובע שחבורת ההפיכים של חוג שלמים של שדה מספרים היא חבורה נוצרת סופית.

חבורת ההפיכים של חוג חילופי פועלת על החוג דרך כפל. כך מוגדר על החוג יחס שקילות הנקרא חברות; שני איברים בחוג, $\ r,s$, נקראים חברים אם קיים איבר הפיך $\ u$ כך ש-$\ r=us$, והיחס מסומן $\ r\sim s$ (מחלקות השקילות הם המסלולים של החבורה). לחברות חשיבות בחקר תחומי שלמות, שם היא מאפשרת להכליל את המשפט היסודי של האריתמטיקה לתחומי פריקות יחידה – איבר בתחום כזה ניתן לפירוק לגורמים אי-פריקים עד כדי סדר הגורמים וחברות (בחוג המספרים השלמים הדבר מתבטא בכך שפירוקים שקולים יכולים להיבדל בסימן של הגרומים).

חבורת ההפיכים מגדירה פנקטור מקטגוריית החוגים לקטגוריית החבורות, משום שאם שני חוגים הומומורפיים, אז גם חבורות ההפיכים שלהם הומומורפיות.

דוגמאות

• בחוג המספרים השלמים האיברים ההפיכים היחידים הם 1 ו--1. לכן כל מספר שלם הוא חבר של עצמו ושל הנגדי של עצמו בלבד.
• בחוג השלמים של גאוס האיברים ההפיכים הם 1, -1‏, i‏, -i.
• באופן כללי בכל חוג שורשי היחידה תמיד הפיכים, שכן אם $\ \rho ^{n}=1$, אז $\ \rho ^{-1}=\rho ^{n-1}$.
• בחוג הפולינומים מעל שדה נתון האיברים ההפיכים הם הפולינומים הקבועים (מלבד פולינום האפס). כלומר חבורת ההפיכים היא החבורה הכפלית של השדה.
• בחוג המטריצות מסדר נתון מעל שדה נתון האיברים ההפיכים הם הם המטריצות ההפיכות וחבורת ההפיכים היא החבורה הלינארית הכללית.
• בחוג המספרים השלמים מודולו n האיברים ההפיכים הם אלו שזרים ל-n וחבורת ההפיכים היא חבורת אוילר מסדר n.

הכללות

ערך מורחב – חוג פון-נוימן רגולרי

קל לראות שאיבר הפיך מקיים $\ aa^{-1}a=a$. תכונה זו מאפשרת להכליל את תכונת ההפיכות גם לחבורות למחצה בהן אין בהכרח איבר יחידה. בחבורה למחצה, איבר $\ a$ נקרא איבר רגולרי אם קיים איבר $\ b$ כך שמתקיים $\ aba=a$ ($\ b$ נקרא הפסאודו-הופכי של $\ a$). אם גם $\ bab=b$ אז $\ b$ נקרא ההופכי של $\ a$. לכל איבר רגולרי יש איבר הופכי. אם $\ aba=a$, אז $\ bab$ הופכי של $\ a$ (עולה מחישוב ישיר). המכפלה של זוג הופכיים היא איבר אידמפוטנט, $\ (ab)^{2}=abab=ab$ הדומה במובנים רבים לאיבר יחידה.