הזוגיות של אפס
אפס הוא מספר זוגי, משום שהוא שווה לפעמיים אפס, וכל מספר השווה לפעמיים מספר שלם הוא זוגי לפי ההגדרה.
כיוון שאפס זוגי, הוא מקיים את כל התכונות של המספרים הזוגיים: הוא ניתן לחלוקה ב-2 בלי שארית והקבוצה שבה 0 איברים (הקבוצה הריקה) היא איחוד של שתי קבוצות זרות שלהן אותו גודל (שתי קבוצות ריקות).
על אף ההגדרה המקובלת, יש שגיאה רווחת כי הזוגיות של אפס אינה מוגדרת. בניסויי זמן תגובה, רוב האנשים מזהים את 0 כזוגי לאט מאשר את 2, 4, 6 או 8.
חוקרים להוראת מתמטיקה מעלים את האפשרות שתפיסות שגויות אלו יכולות להוות הזדמנויות ללמידה. פעילות ללימוד שוויונות כמו 0 × 2 = 0 מאפשר לפתור ספקות לגבי היותו של 0 מספר, ולגרום להשתמש בו באריתמטיקה ולהעריך את חשיבות ההגדרות. הבנת תכונת הזוגיות של מספר יוצא דופן שכזה היא דוגמה מוקדמת לנושא נפוץ במתמטיקה: הפשטה של עקרון מוכר למצב לא מוכר. שאלת הזוגיות של אפס עולה בפורומים באינטרנט ואתרי "הכה את המומחה".[1]
זוגיות אפס
זוגיות במספרים הטבעיים
מערכת המספרים הבסיסית, המוכרת מראשית ימי המתמטיקה והנלמדת בתחילת לימודי החשבון, היא קבוצת המספרים הטבעיים: 1, 2, 3, 4, וכו'. מספר טבעי נקרא זוגי אם הוא כפולה של 2. לדוגמה, 10 הוא מספר טבעי זוגי, מפני שמתקיים . פעולות החשבון הבסיסיות, חיבור וכפל סגורות בקבוצת הטבעיים, כלומר חיבור של שני מספרים טבעיים אף הוא מספר טבעי, וכפל של שני מספרים טבעיים אף הוא מספר טבעי. מתקיימים גם הכללים הבאים:
- זוגי + זוגי = זוגי
- אי-זוגי + אי-זוגי = זוגי
- אי-זוגי + זוגי = אי-זוגי
- זוגי + אי-זוגי = אי-זוגי
- זוגי × מספר טבעי = זוגי.
מערכת זו אינה כוללת את אפס (וגם לא את המספרים השליליים), כך שבמסגרתה לשאלה האם אפס זוגי אין משמעות.
פעולת החיסור אינה סגורה בקבוצת המספרים הטבעיים. בחלק המקרים תוצאה של פעולת חיסור בין שני טבעיים היא מספר טבעי, אך לעיתים אין זה כך. כדי להגיע למצב שבו גם פעולת החיסור היא סגורה, יש לעבור מקבוצת המספרים הטבעיים לקבוצת המספרים השלמים, שבה נכללים, בנוסף לטבעיים, גם המספרים השליליים ואפס. בקבוצה זו שלוש הפעולות, חיבור, חיסור וכפל, הן פעולות סגורות.
זוגיות במספרים השלמים
מספר שלם נקרא זוגי אם הוא כפולה של 2. לדוגמה, 10 הוא מספר שלם שהוא זוגי, מפני שמתקיים . באופן דומה, גם 10- הוא מספר זוגי. תחת אותו שיקול, אפס הוא כפולה של 2, כיוון ש- , ולכן אפס זוגי.
הגדרה מדויקת של מונח מתחום המתמטיקה, כמו ש"זוגי" אומר "כפולה שלמה של שתיים", היא בסופו של דבר מוסכמה. הגדרות מתמטיות נבנות לעיתים תוך כוונה תחילה שלא לכלול מקרים טריוויאלים או מנוונים. מספרים ראשוניים הם דוגמה מפורסמת. לפני המאה ה-20, הגדרות הראשוניות היו בלתי עקביות, ומתמטיקאים מפורסמים כמו גולדבך, למברט, קיילי, קרונקר ולז'נדר כתבו ש-1 הוא ראשוני. בהגדרה העכשווית 1 אינו נחשב לראשוני. הגדרה זו יכולה להיות מוסברת בהסתכלות על משפטים מתמטיים הנוגעים למספרים ראשוניים. לדוגמה, המשפט היסודי של האריתמטיקה, על יחידוּת הפירוק לראשוניים, יפסיק להיות נכון אם נניח ש-1 ראשוני.
אם כך, ניתן היה להגדיר את המושג "זוגי" כך שלא יכלול את אפס, אך אין בכך תועלת ויש בכך נזק - ההגדרה תהפוך ניסוח של עובדות מתמטיות העוסקות במספרים זוגיים למסובך יותר. בהתייחסות לפעולות חיבור, חיסור וכפל מתקיימים הכללים הבאים:
- זוגי ± זוגי = זוגי
- אי-זוגי ± אי-זוגי = זוגי
- אי-זוגי ± זוגי = אי-זוגי
- זוגי ± אי-זוגי = אי-זוגי
- זוגי × שלם = זוגי
בעזרת הכנסת ערכים מתאימים לחלק שלפני סימן השוויון, ניתן לייצר 0 בצד השני:
- 2 − 2 = 0
- 3- + 3 = 0
- 4 × 0 = 0
החוקים למעלה יהיו לא נכונים (או יצריכו ניסוח מסורבל) אם אפס יוחרג מקבוצת המספרים הזוגיים.
המחשת הזוגיות של אפס
ניתן גם להסביר למה אפס הוא זוגי בלי לעשות שימוש בהגדרות רשמיות. ההסברים שלהלן מנסים לגרום להבנה לגבי הסיבה שאפס הוא מספר זוגי במובנים של עקרונות בסיסיים במספרים. מיסודות אלו ניתן לספק הסבר הגיוני להגדרה עצמה - והחלתה עבור המספר אפס.
מספרים משמשים אותנו לצורכי ספירה: בהינתן קבוצת עצמים, משתמשים במספרים על מנת לתאר כמה עצמים נמצאים בקבוצה. אפס הוא המונח המשמש אותנו להגיד שאין עצמים; או במינוח רשמי יותר, אפס הוא מספר העצמים בקבוצה ריקה. הרעיון של הזוגיות נוצר על מנת לאגד קבוצות של שני עצמים. אם ניתן לחלק את העצמים בקבוצה לקבוצות של 2, אז מספר העצמים בקבוצה זוגי. אם ישנו עצם שנשאר ללא בן זוג, אז מספר העצמים בקבוצה אי-זוגי. הקבוצה הריקה כוללת אפס קבוצות של שני עצמים, ואין עצם שנשאר לא מצוות, ולכן מספר איבריה הוא זוגי, היינו אפס הוא זוגי.
רעיונות אלו יכולים להיות מומחשים על ידי שרטוט עצמים בזוגות. קשה לנסות לתאר אפס קבוצות של שתיים, או להדגיש את חוסר הקיום של עצם שנשאר, כך שנוח לצייר קבוצות אחרות ולהשוות אותן לקבוצה של אפס. לדוגמה, בקבוצה של חמישה עצמים יש שני זוגות. חשוב מכך, יש שם עצם שנשאר, ולכן 5 זה מספר אי-זוגי. בקבוצה של ארבעה עצמים אין עצמים שנשארו, ולכן 4 הוא זוגי. בקבוצה של עצם אחד יש עצם אחד שנשאר, ולכן 1 הוא אי-זוגי. בקבוצה של אפס עצמים אין עצמים שנשארו, ולכן 0 הוא זוגי.
ישנה הגדרה נוספת לזוגיות: אם העצמים בקבוצה יכולים להיות מונחים בשתי קבוצות בגודל שווה, אז מספר העצמים זהה. הגדרה זו זהה להגדרה הראשונה. שוב, אפס זוגי מכיוון שהקבוצה הריקה יכולה להיות מחולקת לשתי קבוצות של אפס עצמים כל אחת.[2]
מספרים יכולים להיות מצוירים כנקודות על ציר המספרים. כאשר מספר זוגי ומספר אי-זוגי נבדלים זה מזה, התבנית נהפכת לברורה, במיוחד אם כוללים את המספרים השליליים:
לא משנה מאיזה מספר זוגי נתחיל, אם נספור לכיוון מעלה או למטה בקפיצות של שתיים נגיע למספר זוגי. אין סיבה לדלג על אפס.
נוכל גם להוכיח את הזוגיות של אפס בדרך קצת יותר רשמית בעזרת כפל וביטויים אריתמטיים. כל מספר שלם יכול להבנות בעזרת התבנית (2 × ▢) + 0 או בעזרת התבנית (2 × ▢) + 1 התבנית הראשונה יוצרת מספרים זוגיים, והתבנית השנייה יוצרת מספרים אי-זוגיים. לדוגמה, המספר 1 הוא אי-זוגי כיוון ש-1 = (2 × 0) + 1 והמספר 0 הוא זוגי כיוון ש-0 = (2 × 0) + 0. בניית טבלה של העובדות הללו תחזק את הטענה של תמונת ציר המספרים המופיעה מעלה.
הקשרים מתמטיים
אינספור תוצאות בתורת המספרים משתמשות במשפט היסודי של האריתמטיקה ובתכונות האלגבריות של מספרים זוגיים, כך שיש לבחירות שכתובות למעלה השלכות מרחיקות לכת. לדוגמה, העובדה שניתן לפרק לגורמים מספרים שלמים חיוביים בדרך אחת בלבד משמעה שניתן להכריע האם למספר כלשהו יש מספר מחלקים זוגי או אי-זוגי. מכיוון ש-1 אינו מספר ראשוני ואין לו מחלקים, הוא מכפלה של אפס מספרים ראשוניים שונים. מכיוון ש-0 הוא מספר זוגי, ל-1 יש מספר זוגי של מחלקים שונים. מכאן ניתן להגיד שפונקציית מביוס יכולה לקבל את הערך μ(1) = 1, דבר שהכרחי עבורה כדי להיות פונקציה כפלית ודבר הכרחי על מנת שנוסחת ההיפוך של מביוס תעבוד.
לא אי-זוגי
המספר n הוא אי-זוגי אם יש מספר שלם k כך ש- n = 2k + 1. דרך אחת להוכיח שאפס אינו אי-זוגי היא על דרך השלילה: אם 0 = 2k + 1 אזי k = −1/2, שהוא אינו מספר שלם. כיוון שאפס הוא לא אי-זוגי, אם מוכח שמספר כלשהו הוא אי-זוגי, מספר זה אינו יכול להיות אפס. בדיקה פשוטה זו יכולה לספק הוכחה משכנעת למדוע מספר כלשהו אינו אפס.
טענה מוכרת בתורת הגרפים היא שלגרף מסדר אי-זוגי (בעל מספר אי-זוגי של צמתים) תמיד יהיה לפחות צומת אחד בדרגה זוגית. על מנת שהטענה תתקיים, אפס חייב להיות זוגי: גרף ריק הוא מסדר זוגי, ולצמתים מבודדים יש דרגה זוגית. על מנת להוכיח את הטענה, קל יותר להוכיח טענה חזקה יותר: לכל גרף מסדר אי-זוגי יש מספר אי-זוגי של צמתים בדרגה זוגית. ההסבר לתופעה זו מונח בטענה כללית אפילו יותר, הידועה גם כלמת לחיצות הידיים: לכל גרף יש מספר זוגי של צמתים מדרגה אי-זוגית. ניתן להסביר את המספר הזוגי של צמתים מדרגה אי-זוגיים בעזרת נוסחת סכום הדרגות
בחינוך
הנושא של הזוגיות של אפס מטופל לרוב בשנתיים-שלוש הראשונות של חינוך יסודי, ומוצג כחלק מהעקרון ופיתוח ההבנה של מספרים זוגיים ואי-זוגיים.[3]
בקיאות תלמידים
התרשים משמאל מתאר את אמונותיהם של ילדים על זוגיות המספר אפס, תוך כדי שהם מתקדמים מהשנה הראשונה ועד השנה השישית במערכת החינוך. הנתונים מבוססים על מחקריו של לן פרובישר, שערך סקרים בקרב תלמידי בית ספר ששפתם אנגלית.[4] פרובישר התעניין באיך ידע על זוגיות במספרים חד-ספרתיים מתורגם להבנת זוגיות במספרים רב-ספרתיים, ואפס בלט במיוחד בתוצאות.
בסקר מקדים שערך בקרב 400 תלמידים בני שבע, 45% העדיפו זוגי על אי-זוגי כשנשאלו על הזוגיות של אפס[5] הסקר שאחריו הציע יותר אפשרויות: אף אחד מהם, שניהם ולא יודע. בניסוי זה אחוז הילדים באותו טווח גילאים שזיהו את אפס כזוגי צנח ל-32%. הצלחה בהחלטה שאפס הוא זוגי מתחילה לזנק לרמות של בערך 50% בשנה השלישית ללימודים ועד השנה השישית בחינוך היסודי. לשם השוואה, המשימה הקלה ביותר, לזהות את הזוגיות של מספר חד-ספרתי בודד, מצליחה ב-85%.
| טענות שנטענו על ידי תלמידים |
|---|
| אפס לא זוגי ולא אי-זוגי. |
| אפס יכול להיות זוגי. |
| אפס לא אי-זוגי. |
| אפס חייב להיות זוגי. |
| אפס הוא בכלל לא מספר. |
| אפס תמיד הולך להיות מספר זוגי. |
| אפס לא תמיד יהיה מספר זוגי. |
| אפס הוא מספר זוגי. |
| אפס הוא מיוחד. |
בראיונות, פרובישר ניסה לעורר את החשיבה של התלמידים. אחד מהחניכים בשנה החמישית ללימודיו החליט ש-0 הוא זוגי מכיוון שהוא נמצא בעמודה של 2 בלוח הכפל. שני תלמידים בשנה הרביעית ללימודיהם הבינו שאפס יכול להיות מחולק ל-2 חלקים שווים. אחד נוסף טען ש"1 הוא אי-זוגי ואם אני סופר לכיוון מטה זה זוגי". הראיונות חשפו גם את התפיסות המוטעות שבבסיס התשובות הלא נכונות. תלמיד בשנה השנייה ללימודיו התייחס ל-0 כאל "כלום" וחשב שהוא לא זוגי ולא אי-זוגי, מכיוון ש"הוא לא מספר". במחקר נוסף, אנני קית' צפתה בכתה של 15 תלמידי השנה השנייה ששכנעו אחד את השני שאפס הוא מספר זוגי בהתבסס על התחלפות הזוגיות בספירה מלמעלה למטה והאפשרות לחלוקת קבוצה של אפס עצמים לשתי קבוצות שוות.
מחקרי עומק נוספים בוצעו על ידי אסתר לוינסון, פסיה צמיר, דינה תירוש,[6] שראיינו זוג של תלמידים מצטיינים בשנה השישית ללימודיהם. אחד מהתלמידים העדיף הסברים דדוקטיביים לטענות מתמטיות, בזמן שהשני העדיף דוגמאות מעשיות. שני התלמידים תחילה חשבו ש-0 אינו אי-זוגי וגם לא זוגי, מסיבות שונות. לוינסון ושותפיה הדגימו איך ההיגיון של התלמידים שיקף את העקרונות שלהם אודות אפס וחלוקה.
דבורה לוונברג בל ניתחה את רעיונותיהם של התלמידים בשנה השלישית אודות מספרים זוגיים, אי-זוגיים ואפס, עליהם דיברו עם קבוצה של תלמידים בשנה הרביעית ללימודיהם. התלמידים שוחחו על הזוגיות של אפס, החוקים של מספרים זוגיים וכיצד עושים מתמטיקה. לטענות על המספר אפס היו צורות רבות, כמו שתוכלו לראות ברשימה מימין. בל ועמיתיה טענו שדבר זה מראה איך תלמידים יכולים "לעשות מתמטיקה בבית הספר", בניגוד לשיטת הרידוד של פתרון מכני של תרגילים.
אחד מהנושאים הנדונים במחקרים הכתובים הוא המתח בין תפיסות העולם וההגדרות של התלמידים את הזוגיות. התלמידים בשנה השישית ללימודיהם מהמחקרים של לוינסון ושותפיה הגדירו מספרים זוגיים ככפולות של 2 או מספרים המתחלקים ב-2, אך הם לא הצליחו בהתחלה להחיל את ההגדרה הזו על אפס, מכיוון שהם לא היו בטוחים איך להכפיל או לחלק אפס ב-2. המראיין לבסוף עזר להם להבין שאפס הוא מספר זוגי; התלמידים לקחו דרכים שונות כדי להגיע למסקנה הזו, תוך שהם מסתמכים על שילוב של תמונות, הגדרות, הסברים פרקטיים והסברים מופשטים.
בקיאות מורים
חוקרים להוראת המתמטיקה באוניברסיטת מישיגן כללו את פסוקית האמת או שקר "0 הוא מספר זוגי" בקבוצה של מעל 250 שאלות שעוצבו על מנת למדוד את הידע של המורים בתוכן של המלמדים. עבורם, השאלה הדגימה "עובדה ידועה ... שכל מבוגר משכיל צריך לדעת", ושמדובר ב"שאלה נייטרלית מבחינה אידאולוגית" שהתשובה לא משתנה בין שיטות לימוד שונות של מתמטיקה. במחקר שנערך בשנים 2000–2004 שכלל 700 מורי יסודי בארצות הברית, ביצועיהם של המורים חזו בצורה ברורה שיפור במבחנים פסיכומטריים של תלמידים שלקחו שיעורים ממורים אלו.[7] במחקר מעמיק יותר שנעשה בשנת 2008, החוקרים מצאו בתי ספר שבהם כל המורים חשבו שאפס הוא לא מספר זוגי ולא מספר אי-זוגי, כולל מורה שהיה מופתי בכל המדדים האחרים. התפיסה המוטעית הופצה על ידי מורה למתמטיקה בבניין שלהם.
לא ידוע כמה מורים מחזיקים בתפיסות מוטעות לגבי אפס. המחקרים במישיגן לא פרסמו מידע עבור שאלות ספציפיות. בטי ליכטנברג, פרופסור לחינוך מתמטי באוניברסיטת דרום פלורידה, דיווחה במחקר מ-1972 שכאשר קבוצה של מורים קיבלו מבחן של אמת-או-שקר כולל הסעיף "אפס הוא מספר זוגי", הם מצאו אותו כ"שאלה מכשילה", כאשר שני שלישים מתוכם ענו "שקר".[8]
השלכות בהוראה
מבחינה מתמטית, הוכחת העובדה שאפס הוא זוגי היא עניין פשוט של החלת ההגדרה, אך הסברים נוספים דרושים בהקשרי הוראה. אחת הבעיות נוגעת לבסיסה של ההוכחה; ההגדרה עבור "זוגי" כ"מספר שלם שהוא כפולה של 2" לא תמיד מתאימה לצורכי ההוראה. תלמידים בשנים הראשונות ללימודיהם לא תמיד ידעו מה ההגדרה של "מספר שלם" או של "כפולה", ואפילו רבים יותר לא ידעו כיצד לכפול ב-0. בנוסף, הצהרה של הגדרת הזוגיות עבור כל המספרים השלמים יכולה להראות מעט כמו קיצור עקרוני שרירותי אם המספרים הזוגיים שנבחנו עד כה היו רק חיוביים. דבר שיכול לעזור הוא הכרה בכך שכפי שהעקרון של מספרים מורחב ממספרים חיוביים שלמים לכך שיכלול גם את אפס והמספרים השליליים, תכונות של אותם מספרים כמו זוגיות יכולים להיות מורחבים בצורות שאינן מובנות מאליהן.
הקשרים יומיומיים
הסכמה שאפס הוא מספר זוגי נכללת גם בקיצוב לפי זוגיות שנהוג בעתות מחסור, למשל קביעה שמכוניות יוכלו לנהוג או לתדלק רק כל יום שני, בתלות במספר האחרון על לוחית הרישוי של הרכב. חצי מהמספרים בטווח מסתיימים ב-0, 2, 4, 6 ו-8, והחצי האחר ב-1, 3, 5, 7, 9, ולכן זה הגיוני לכלול את 0 בקבוצת המספרים הזוגיים. למרות זאת, ב-1977, מערכת הקיצוב בפריז הביאה לבלבול: בימים עבור מספרים אי-זוגיים בלבד, המשטרה נמנעה מלקנוס כלי רכב שלוחות הרישוי שלהם הסתיימו ב-0 מכיוון שהם לא ידעו ש-0 הוא מספר זוגי. על מנת למנוע בלבול שכזה, המחוקק הרלוונטי לעיתים קובע ש-0 הוא מספר זוגי; חוקים כאלו כבר עברו בניו סאות' ויילס ובמרילנד.
בכלי שיט של חיל הים האמריקאי, תאים זוגיים נמצאים תמיד בצד השמאלי, אך המספר אפס שמור לתא הנמצא באמצע. משמע, מספרי התאים משמאל לימין הם: 6-4-2-0-1-3-5. במשחק רולטה, המספר אפס לא נחשב כזוגי או כאי-זוגי, מה שנותן לקזינו יתרון במקרי הימור על זוגיות התוצאה.
המשחק זוג או פרט מושפע גם הוא: אם שני השחקנים בוחרים אפס אצבעות, סך כל האצבעות הוא אפס, אז השחקן של זוג מנצח. חלק מהמדריכים למורים מציעים ללמד ילדים את המשחק על מנת להכיר להם את הרעיון ש-0 ניתן לחלוקה ב-2.
הערות שוליים
- ^ דוגמה: A question around zero , The Math Forum
- ^ Dickerson, David S; Pitman, Damien J (ביולי 2012), Tai-Yih Tso (ed.), "Advanced college-level students' categorization and use of mathematical definitions" (PDF), Proceedings of the 36th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2: 187–195
{{citation}}: (עזרה), p. 191 - ^ אלו הזמנים הקבועים במערכות החינוך בארצות הברית, בקנדה, בבריטניה, באוסטרליה ובישראל.
- ^ Frobisher, Len (1999), Anthony Orton (ed.), Primary School Children's Knowledge of Odd and Even Numbers, London: Cassell, pp. 31–48
- ^ התוצאות הן מסקרים שנערכו באמצע עונת הקיץ בממלכה המאוחדת ב-1992.
- ^ Levenson, Esther; Tsamir, Pessia; Tirosh, Dina (2007), "Neither even nor odd: Sixth grade students' dilemmas regarding the parity of zero", The Journal of Mathematical Behavior, 26 (2): 83–95, doi:10.1016/j.jmathb.2007.05.004
- ^ Ball, Deborah Loewenberg; Hill, Heather C.; Bass, Hyman (2005), "Knowing Mathematics for Teaching: Who Knows Mathematics Well Enough To Teach Third Grade, and How Can We Decide?" (PDF), American Educator, נבדק ב-16 בספטמבר 2007
{{citation}}: (עזרה), pp. 14–16 - ^ Lichtenberg, Betty Plunkett (בנובמבר 1972), "Zero is an even number", The Arithmetic Teacher, 19 (7): 535–538
{{citation}}: (עזרה), p. 535
