היפרבולה

ההיפרבולה $y={\frac {1}{x}}$

מציאת מרכז של היפרבולה

במתמטיקה, הִיפֶּרְבּוֹלָה היא צורה גאומטרית המהווה חתך חרוט, המורכבת משתי עקומות נפרדות הקרויות זרועות ההיפרבולה.

ההיפרבולה ניתנת להגדרה כמקום הגאומטרי של הנקודות שמקיימות שהערך המוחלט של ההפרש בין המרחקים שבין כל אחת מהן לשתי נקודות קבועות (נקודות המוקד) הוא קבוע.

ההיפרבולה ניתנת לייצוג על פני מערכת צירים קרטזית כעקומה, באמצעות המשוואה האלגברית הבאה:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

כאשר $B^{2}>4AC$ .

ניתן להגדיר היפרבולה גם כמקום הגאומטרי של הנקודות שהיחס בין מרחקן מנקודה קבועה (מוקד) וישר נתון (מדריך) הוא קבוע גדול מ-1. קבוע זה הוא האקסצנטריות של ההיפרבולה.

אמצע הקטע שבין שני המוקדים נקרא מרכז ההיפרבולה. להיפרבולה שתי אסימפטוטות שנחתכות במרכזה. תהליך למציאת מרכז היפרבולה מתואר באנימציה.

היפרבולה בעלת צירים שווים נקראת היפרבולה שוות שוקיים. היפרבולה שמרכזה בראשית הצירים נקראת היפרבולה קנונית.

משוואות המתארות היפרבולה

מערכת קואורדינטות קרטזית

(המרכז (המוקד): $(h,k)$)

${\begin{aligned}{\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}&=1\\{\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}&=1\end{aligned}}$

בשתי משוואות אלה, $a$ הציר הראשי ו-$b$ הציר המשני, אולם ייתכן ש-$b$ יהיה גדול מ-$a$ .

במקרה הפרטי של היפרבולה קנונית (כלומר, שהמוקד נמצא בראשית הצירים – $(0,0)$), מתקבלת הנוסחה:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

ניתן להבחין בדמיון הרב בין נוסחה זו לנוסחתה של אליפסה קנונית ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ .

האקסצנטריות נקבעת על פי המשוואה:

$e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$

היפרבולה בה צירי הקואורדינטות זהים לצירי ההיפרבולה:

$(x-h)(y-k)=c$

משוואות האסימפטוטות הן:

${\begin{aligned}y&={\frac {b}{a}}x\\y&=-{\frac {b}{a}}x\end{aligned}}$

מערכת קואורדינטות קטבית

${\begin{aligned}r^{2}&=a\sec(2t)\\r^{2}&=-a\sec(2t)\\r^{2}&=a\csc(2t)\\r^{2}&=-a\csc(2t)\end{aligned}}$

הצגה פרמטרית (לענף הימני)

${\begin{matrix}x=a\cosh(\theta ),y=b\sinh(\theta )\\x=a\tan(\theta ),y=b\sec(\theta )\end{matrix}}$

תכונות אנליטיות של ההיפרבולה

השטח תחת ההיפרבולה

האינטגרל של ההיפרבולה "הפשוטה" מהצורה: $y^{2}-x^{2}=1$ הוא:

$\int {\sqrt {1+x^{2}}}dx={\frac {\ln \left(x+{\sqrt {1+x^{2}}}\right)+x{\sqrt {1+x^{2}}}}{2}}={\text{arsinh}}(x)+{\frac {x{\sqrt {1+x^{2}}}}{2}}$.

ניתן להגיע לתוצאה זאת באמצעות טכניקה אלגנטית של שינוי מערכת קואורדינטות מ-$(x,y)$ למערכת קואורדינטות $(x^{*},y^{*})$ המסובבת בזווית 45 מעלות ביחס למערכת הצירים $xy$ ומקיימת $y^{*}={\frac {C}{x^{*}}}$ .

טרנספורמציית קואורדינטות זו מתאפשרת אודות לעובדה שהפונקציה $y={\frac {1}{x}}$ היא למעשה היפרבולה, מה שמסביר את הופעת הלוגריתם בתוצאת האינטגרציה של השטח תחת ההיפרבולה (אינטגרל של $y={\frac {1}{x}}$ הוא $\ln(x)$). האבר הנוסף בתוצאה נובע מכך שהשטח תחת ההיפרבולה מורכב גם ממשולש ישר-זווית "שאריתי" שניצביו $x,{\sqrt {1+x^{2}}}$ .

ראו גם

• זווית היפרבולית
• פונקציה היפרבולית
• מסלול היפרבולי
• מבנה היפרבולי

קישורים חיצוניים

• היפרבולה