משוואה ממעלה רביעית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:
גרף של פולינום מדרגה 4. לפונקציה ארבעה שורשים, והם מהווים פתרון של המשוואה.

משוואה ממעלה רביעית היא משוואה מהצורה הבאה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d = 0}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a,b,c,d} הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים).

אם השדה ממאפיין שונה מ-2, אפשר להציב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x=y-\frac{a}{4}} ולקבל משוואה ממעלה רביעית ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y} , שבה המקדם של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y^3} הוא אפס. משוואה כזאת נהוג לרשום באופן הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^4 + p x^2 + q x + r = 0}

במקרים רבים כאשר דנים במשוואות ממעלה רביעית, הכוונה למשוואות מסוג זה.

היסטוריה

Postscript-viewer-blue.svg ערך מורחב – היסטוריה של פתרון המשוואות ממעלה שלישית ורביעית

את הפתרון של משוואות ממעלה רביעית מצא לודוביקו פרארי (Ludovico Ferrari) האיטלקי, בשנת 1540, כשלושים שנה אחרי שנמצא הפתרון למשוואה ממעלה שלישית. בעקבות פתרונות אלו, האמינו המתמטיקאים של סוף תקופת הרנסאנס שאפשר יהיה לפתור גם משוואות ממעלה גבוהה יותר באותו אופן, ומאמצים ניכרים הושקעו בבעיה זו. יותר ממאתיים שנה חלפו עד שפאולו רופיני ונילס הנריק אבל הראו שפתרון כזה אינו אפשרי (ראו משפט אבל-רופיני), ואווריסט גלואה הניח את היסודות לתורת גלואה, שמסבירה את ההבדל היסודי בין משוואות ממעלה חמישית ומעלה (שאינן ניתנות לפתרון על ידי פעולות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק והוצאת שורש) ובין משוואות ממעלה נמוכה יותר.

פתרון משוואה ממעלה רביעית

כפי שהוסבר במבוא, אפשר להניח שהמקדם של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^3} במשוואה הוא 0. נפתור, אם כן, את המשוואה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^4 + p x^2 + q x + r = 0} .

ננסה לפרק את הפולינום למכפלה של שני גורמים ממעלה שנייה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^4 + p x^2 + q x + r = (x^2 + A x + B)(x^2 - A x +C)} .

מהשוואת המקדמים מתקבל:

  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B+C-A^2 = p}
  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(C-B)=q}
  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BC = r} .

ניתן לשכתב את שני השוויוניים הראשונים באופן הבא:

  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B+C=p+A^2}
  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C-B=q/A} .

אם נחבר ונחסר את שני השוויוניים האחרונים, נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C=\frac{p+A^2+\frac{q}{A}}{2}} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B=\frac{p+A^2-\frac{q}{A}}{2}} ,

מן השוויון על r נובע:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4r=4BC= \left(p+A^2+\frac{q}{A}\right) \left(p+A^2-\frac{q}{A}\right)=(p+A^2)^2- \frac{q^2}{A^2}}

או במילים אחרות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (A^2)^3+2p(A^2)^2 +(p^2-4r)A^2- q^2=0} .

זו משוואה ממעלה שלישית בנעלם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^2} . לאחר שפותרים אותה נותר להציב בביטויים הקודמים כדי לקבל את B ו- C, ואז מתקבלים השורשים למשוואה המקורית על ידי פתרון משוואה ממעלה שנייה.

קשר לתורת גלואה

הפתרון דורש הוצאות שורש בסדר הבא: ראשית, יש לפתור משוואה ממעלה שלישית (ולשם כך יש להוציא שורש שני, ואז שורש שלישי). אחר כך מוציאים שורש שני (כדי לקבל את A), ושורש שני נוסף (כדי לקבל את השורש x). המספרים 2,3,2,2 עומדים בהתאמה לסדרים של גורמי ההרכב של החבורה הסימטרית מסדר 4 (ראו חבורה פתירה), ומדגימים את הקשר בין תת-השדות של שדה פיצול לתת-החבורות של חבורת גלואה (ראו תורת גלואה).

משוואה דו-ריבועית

אם גם המקדם של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y} וגם המקדם של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y^3} הם אפס, אז המשוואה נקראת משוואה דו-ריבועית, והיא למעשה משוואה ריבועית במשתנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y^2} ; אלא שזה אינו המקרה הכללי. משוואה דו-ריבועית כזו אפשר לפתור בקלות על ידי הצבת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y^2 = t} , ההופכת את המשוואה למשוואה ריבועית במשתנה t.

דוגמה למשוואה דו-ריבועית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y^4 - 5y^2 + 6 =0} . כאשר מציבים בה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y^2 = t} , מתקבלת המשוואה הריבועית הבאה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t^2 - 5t + 6 =0}

פתרונותיה הם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t = 2,3} . לכן הפתרונות למשוואה המקורית הם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ y = \pm\sqrt{2}, \pm \sqrt{3}} .

קישורים חיצוניים

  • משוואה ממעלה רביעית, באתר MathWorld (באנגלית)   המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.
Logo hamichlol 3.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0