פנים (טופולוגיה)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
הנקודה נמצאת בפנים של הקבוצה שכן הקבוצה מכילה סביבה של

בטופולוגיה, הפְּנים של קבוצה הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה.

נהוג לסמן את הפנים של קבוצה בסימונים .

הגדרה פורמלית

ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:

  • תהי קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה , בתור קבוצת כל הנקודות כך שקיימת קבוצה פתוחה עבורה – כלומר, הקבוצה היא סביבה של .
  • תהי קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר המוכלת ב- . על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב- .
  • תהי קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת משלים וסגור: .

דוגמה

נחשב את הפנים של הקטע הסגור בישר הממשי.

ולכן הפנים של הוא הקטע הפתוח .

תכונות הפנים

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור.

  • כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה: . בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן .

חוץ

החוץ של קבוצה , המסומן , מוגדר כפנים של המשלים שלה: . באופן שקול, ניתן להגדיר את החוץ כמשלים של הסגור: .

השפה של קבוצה, היא קבוצת האיברים במרחב שלא נמצאים בפנים שלה ולא נמצאים בחוץ שלה.

ראו גם