שדה המספרים האלגבריים

במתמטיקה, שדה המספרים האלגבריים הוא השדה הכולל את כל המספרים המרוכבים האלגבריים מעל הרציונליים, כלומר, את כל המספרים שהם שורש לפולינום כלשהו בעל מקדמים רציונליים. השדה כולל את שורש 2, השורש העשירי של 7, השורשים של $\ x^{5}-x-1=0$ וכדומה, אבל לא את פאי או e, שהם טרנסצנדנטיים.

שדה המספרים האלגבריים סגור אלגברית. הוא אינו נוצר סופית, משום שכל תת שדה נוצר סופית שלו הוא בעל ממד סופי, היינו, שדה מספרים, ואינו מכיל את כל המספרים האלגבריים. מאידך, שדה המספרים האלגבריים הוא הסגור האלגברי של כל שדה מספרים.

חבורת גלואה של שדה המספרים האלגבריים (מעל הרציונליים), היינו, חבורת גלואה האבסולוטית של הרציונליים, היא, ישירות ובעקיפין, אובייקט החקירה המרכזי בתורת המספרים האלגברית.

22211559

מערכות מספרים
מספרים	המספרים הטבעיים $\mathbb {N}$ (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים $\mathbb {Z}$ (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$ (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים $\mathbb {R}$ (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים $\mathbb {C}$ (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה)
הרחבות של חוג המספרים השלמים	חוג השלמים של גאוס $\ \mathbb {Z} [i]$ • חוג השלמים האלגבריים $\ {\overline {\mathbb {Z} }}$ • חוג השלמים של אייזנשטיין $\ \mathbb {Z} [\omega ]$
הרחבות של שדה המספרים הרציונליים	שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים $\ {\overline {\mathbb {Q} }}$ (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים $\mathbb {Q} _{p}$ (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי
מעבר למרוכבים	אלגברת קווטרניונים (אלגברת הקווטרניונים של המילטון $\ {\mathbb {H} }$ ) • אלגברת אוקטוניונים (אלגברת האוקטוניונים של קיילי $\ {\mathbb {O} }$ ) • אלגברות קיילי-דיקסון

תפריט ניווט