תורת המידה

תורת המידה היא ענף מתמטי העוסק באופנים השונים בהם ניתן למדוד מה שניתן לתפוש אינטואיטיבית כ"גודל" של קבוצה. היישומים הבולטים ביותר של תורת המידה הם מדידת אורך (מדידת תתי-קבוצות של הישר הממשי), מדידת שטח (מדידת תת-קבוצות של המישור הממשי) ומדידת נפח (מדידת תת-קבוצות של המרחב התלת-ממדי). כך למשל מידתו של הקטע $[0,1]$ היא האורך 1, ומידתה של התיבה $[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$ היא הנפח 1.

הכלי הבסיסי בתורת המידה בו משתמשים כדי למדוד גודל הוא פונקציית מידה, שהיא פונקציה המחזירה עבור תתי-קבוצות מסוימות את הגודל שלהן כמספר ממשי (אי-שלילי). מתברר כי לא תמיד ניתן להגדיר פונקציית מידה סבירה שתמדוד את הגודל של כל תת-קבוצה, ועל כן במקרים רבים פונקציית המידה מוגדרת רק על אוסף מסוים של תתי-קבוצות המכונה "סיגמא-אלגברה".

מעבר להיות תורת המידה תחום מחקר כשלעצמו, היא תורה העומדת בבסיס ענפים רבים, בראשם אנליזה מתמטית ובפרט בתורת האינטגרציה, וכן בתורת ההסתברות ובתורה הארגודית. היא מהווה תורה עשירה יותר המכלילה ומבססת מושגים מוקדמים, כדוגמת אינטגרל רימן, ומשמשת לחקור קבוצות ופונקציות מסובכות ומפתיעות, כדוגמת קבוצת קנטור ופונקציית קנטור.

יסודות הענף הונחו בסוף המאה ה-19 ובראשית המאה ה-20, בעיקר על ידי אמיל בורל, אנרי לבג, יוהאן רדון ומוריס פרצ'ט.

מונחים בתורת המידה

מידה: פונקציה המוגדרת מעל מרחב או קבוצה מסוימת ומתאימה לחלק מתתי-הקבוצה שלו מספר ממשי אי-שלילי. המידה היא סיגמא-אדיטיבית ומקיימת מספר תכונות מיוחדות.
מידת הסתברות: מידה חיובית שעבורה מידת כל המרחב עצמו היא 1 ומקיימת את אקסיומות ההסתברות.
מידת לבג: מידה המכלילה את המושגים של אורך בישר הממשי ובאופן כללי של נפח במרחב $\mathbb {R} ^{n}$ .
קבוצה ממידה אפס: קבוצה שמידתה היא אפס. זוהי קבוצה שלצורכי אנליזה השפעתה זניחה.
כמעט בכל מקום: תכונה שמתקיימת בכל הנקודות בתחום (המרחב שבו עובדים) פרט אולי לקבוצה החלקית לתחום זה שמידתה היא אפס.
סיגמא-אלגברה: אוסף של קבוצות הסגור תחת לקיחת משלים ותחת ביצוע איחודים וחיתוכים בני מנייה.
קבוצות בורל: הקבוצות בסיגמא-אלברה הנוצרת על ידי הקבוצות הפתוחות בישר הממשי.
$\ G_{\delta }$ – קבוצה שהיא חיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות. זהו סוג של קבוצת בורל.
$\ F_{\sigma }$ – קבוצה שהיא איחוד בן מנייה של קבוצות סגורות. זהו סוג של קבוצת בורל.
פונקציה מדידה: זוהי פונקציה ממשית ( $\ f:X\to \mathbb {R}$ ) שמקיימת את התכונה הבאה - תמונה הפוכה של כל קבוצת בורל בטווח היא קבוצה מדידה.
פונקציה פשוטה: פונקציה המקבלת מספר סופי של ערכים (הכללה של פונקציית מדרגה).
אינטגרל לבג: אינטגרל של פונקציות מדידות. הכללה של אינטגרל רימן.