התפלגות גאומטרית

התפלגות גאומטרית ("סופרת ניסיונות")

מאפיינים
פרמטרים	$0<p<1$ ההסתברות להצלחה
תומך	$k\in \{1,2,3,\dots \}$
פונקציית הסתברות (pmf)	$(1-p{)}^{k-1}p$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$1-(1-p{)}^k$
תוחלת	$\frac{1}{p}$
סטיית תקן	$\sqrt{\frac{1-p}{p^2}}$
חציון	$\lceil \frac{-\log (2)}{\log (1-p)}\rceil$ (לא יחיד אם $\frac{\log (2)}{\log (1-p)}$ הוא מספר שלם)
ערך שכיח	$1$
שונות	$\frac{1-p}{p^2}$
אנטרופיה	$-\frac{1-p}{p}\ln (1-p)-\ln p$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$\frac{p{e}^t}{1-(1-p)e^t}$
צידוד	$\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}$
גבנוניות	$6+\frac{p^2}{1-p}$

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, ההתפלגות הגאומטרית היא אחת משתי התפלגויות ההסתברות הבדידות הבאות:

• התפלגות ההסתברות של X - מספר ניסויי ברנולי הנדרשים עד להשגת הצלחה אחת. X נע בטווח $1,2,3,\dots$.
• התפלגות ההסתברות של Y=X-1 - מספר הכשלונות בניסויי הברנולי לפני ההצלחה הראשונה. Y נע בטווח $0,1,2,\dots$.

כיצד נקבע מי משתי התפלגויות אלו מכונה ההתפלגות הגאומטרית הוא עניין של מוסכמה ונוחות, בהתאם להקשר.

אם ההסתברות להצלחה בכל ניסיון היא p, אז ההסתברות ש-n ניסיונות נדרשים עד להשגת ההצלחה הראשונה היא:

$P(X=n)=(1-p{)}^{n-1}p$

בצורה דומה, ההסתברות שיהיו n כשלונות לפני ההצלחה הראשונה היא:

$P(Y=n)=(1-p{)}^{n}p$

בשני המקרים, סדרת ההסתברויות היא סדרה גאומטרית, ומכאן שמה של ההסתברות.

לדוגמה, נניח כי קוביית משחק רגילה מוטלת שוב ושוב עד הפעם הראשונה בה מופיע המספר 1. התפלגות מספר זריקות הקוביה היא התפלגות גאומטרית עם הפרמטר p=1/6.

תכונות

חוסר זיכרון: בדומה ל- התפלגות מעריכית, גם התפלגות גאומטרית היא חסרת זיכרון:

$P(X=n+m|X>n)=P(X=m)$

(הסיכוי להצלחה בניסיון ה-n+m לאחר n כישלונות, שווה לסיכוי להצלחה בניסיון ה-m).

בנוסף, מתקיים:

$P(X>n)=(1-p{)}^n$

(הסיכוי שההצלחה הראשונית תקרה לאחר n ניסיונות הוא הסתברות ל-n כישלונות רצופים).

התוחלת והשונות של ההתפלגות הגאומטרית של מספר הניסיונות עד להצלחה נתונות על ידי:

$E(X)=\frac{1}{p};\text{var}(X)=\frac{1-p}{p^2}$

ואילו התוחלת והשונות של ההתפלגות הגאומטרית של מספר הכשלונות עד להצלחה נתונות על ידי:

$E(Y)=\frac{1-p}{p};\text{var}(Y)=\frac{1-p}{p^2}$

ראו גם

• בעיית אוסף הקופונים