הישר הממשי

הישר הממשי הוא תיאור גאומטרי של קבוצת כל המספרים הממשיים $\mathbb {R}$. המונח הישר הממשי מתייחס לקבוצת המספרים הממשיים יחד עם המבנה הגאומטרי והטופולגי שלה.

הישר כמרחב וקטורי

ניתן להתייחס לישר הממשי כמרחב וקטורי מממד 1 מעל שדה המספרים הממשיים, בעל מכפלה פנימית (כפל מספרים ממשיים רגיל) וכך נקבל כי הישר הוא מרחב אוקלידי ממימד 1. עם זאת, מקרה זה אינו בעל עניין, ובדרך כלל נתחיל להתעניין במכפלות קרטזיות של הישר הממשי עם עצמו לקבלת מרחבים אוקלידים מממדים גבוהים יותר. בכל מקרה אסור לשכוח כי הישר הממשי הוא אכן מרחב וקטורי והיה המקום הראשון בו הוחל בחקירת מבנים אלו.

שדה המספרים הממשיים הוא גם מרחב וקטורי מעל שדה המספרים הרציונליים, מממד אינסופי.

גודל

בישר הממשי יש $\!\ \aleph$ איברים, כלומר קבוצת הממשיים אינה בת מנייה.

ההוכחה היא כדלקמן: נניח בשלילה כי קבוצת הממשיים בת מנייה, כלומר נוכל לרשום ברשימה אינסופית את קבוצת כל הממשיים בין 0 ל 1, נקרא לסדרה זו $R_{n}$.
עכשיו, כל מה שנותר להוכיח הוא שבטוח יש מספרים ממשיים שלא שייכים לסדרה.
בונים מספר כך: הספרה הראשונה בפיתוח העשרוני של המספר שלנו תהיה ספרה שהיא לא הספרה הראשונה בפיתוח העשרוני של $R_{1}$, הספרה השנייה בפיתוח העשרוני תהיה ספרה שאיננה הספרה השנייה בפיתוח העשרוני של $R_{2}$, וממשיכים כך בצורה אינדוקטיבית.
אנו יודעים כי המספר הסופי לא נמצא בסדרה, מכיוון שלמספר שלנו יש ספרה שונה במקום ה $n$-י לכל $R_{n}$.

טופולוגיה בישר הממשי

כאשר מתייחסים לישר הממשי כמרחב טופולוגי, הטופולוגיה עליו מוגדרת כטופולוגיה המושרית מהמטריקה הטבעית של הערך המוחלט $\ d(x,y)=|x-y|$, או באופן שקול, כטופולוגיית הסדר המושרית מיחס הסדר הקווי הרגיל שמוגדר עליו. יחד עם זאת ניתן להגדיר על המספרים הממשיים טופולוגיות נוספות כדוגמת: הישר של סורגנפריי, טופולוגיה דיסקרטית ועוד.

הישר הממשי מהווה דוגמה יסודית לתכונות טופולוגיות רבות. לדוגמה הישר הממשי הוא קומפקטי מקומית אבל לא קומפקטי, הוא מרחב מטרי שלם, קשיר, פרקומפקטי שמקיים את האקסיומה השנייה של המנייה. בנוסף, הוא בעל מבנה של יריעה חלקה ואף אנליטית באופן טריוויאלי, וכל מבנה אחר של יריעה חלקה שמוגדר עליו, שהומאומורפי למבנה הטופולוגי הרגיל, דיפאומורפי למבנה הדיפרנציאלי הטריוויאלי.