השערת הרצף

בתורת הקבוצות, השערת הרצף היא טענה על עוצמה של קבוצות אינסופיות שהעלה מייסד תורת הקבוצות, גאורג קנטור. ההשערה קובעת שעוצמת הרצף $\ 2^{\aleph _{0}}$ היא העוצמה הקטנה ביותר שאינה בת מנייה, ובמלים אחרות שכל קבוצה אינסופית שאינה בת מנייה, היא לפחות בעלת עוצמת הרצף.

אחרי עשרות שנים שבהן בעיה זו הייתה פתוחה, הוכיחו קורט גדל ופול כהן כי היא אינה תלויה באקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות, אקסיומות צרמלו-פרנקל. העקביות של תורת הקבוצות לא תינזק אם נוסיף אקסיומה הקובעת שההשערה נכונה, וגם לא אם נוסיף אקסיומה הקובעת שהיא אינה נכונה.

רקע

עוצמה היא דרך מדויקת להתייחס ל'גודל' של קבוצות אינסופיות. לשתי קבוצות יש אותה עוצמה אם קיימת פונקציה מהקבוצה הראשונה לשנייה, המתאימה כל איבר בזו לאיבר אחד ויחיד בזו, כך שכל איבר בקבוצה השנייה מותאם לאיבר בראשונה. קנטור הראה כי עוצמתה של קבוצת המספרים הטבעיים, שמסומנת $\aleph _{0}$, היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר. עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, המכונה עוצמת הרצף ומסומנת $\ \aleph$ (או $\ c$), שווה לעוצמה של קבוצת כל הקבוצות של המספרים הטבעיים, אותה מסמנים ב- $\ 2^{\aleph _{0}}$. קנטור הראה באמצעות שיטת האלכסון שפיתח, כי העוצמה $\ 2^{\aleph _{0}}$ גדולה יותר מ- $\ \aleph _{0}$.

אף על פי שניסה, לא הצליח קנטור לבנות קבוצה שעוצמתה גדולה מ- $\ \aleph _{0}$ וקטנה מ- $\ 2^{\aleph _{0}}$, ולכן העלה את השערת הרצף שלפיה קבוצה כזו אינה קיימת. קנטור לא הצליח להוכיח השערה זו. אות לחשיבות שהייתה לבעיה זו בקרב המתמטיקאים ניתן לראות בכך שהבעיה הייתה הראשונה מבין 23 הבעיות הפתוחות שהילברט הציג בשנת 1900 בתור הבעיות המתמטיות החשובות של המאה ה-20.

בשנת 1935 פיתח קורט גדל את מושג הקבוצות הניתנות לבנייה, ושנתיים אחר-כך, ב-1937, הוא מצא דרך להיעזר במושג הזה כדי לפתור באופן חלקי את השערת הרצף: גדל הראה שאם מניחים שתורת הקבוצות (בניסוח המקובל שלה, צרמלו-פרנקל ובתוספת אקסיומת הבחירה) עקבית, אז התורה הכוללת בנוסף את השערת הרצף כאקסיומה, גם היא עקבית. מצד שני, בשנת 1963 הוכיח פול כהן שגם הוספת אקסיומה השוללת את השערת הרצף מביאה למערכת עקבית, ולכן השערת הרצף עצמאית במסגרת תורת הקבוצות - אין אפשרות להוכיח אותה או את שלילתה על פי האקסיומות של תורה זו. כדי להוכיח משפט זה פיתח פול כהן את שיטת הכפייה (Forcing).

גרסאות שקולות

ב-1943 הוכיחו פאול ארדש ושיזו קקוטני שהשערת הרצף נכונה אם ורק אם אפשר לפרק את הממשיים למספר בן-מניה של קבוצות, שכל אחת מהן היא קבוצה בלתי תלויה מעל הרציונליים. תכונה זו אפשר לנסח גם כך: השערת הרצף שקולה לכך שקיימת צביעה של הממשיים במספר בן-מניה של צבעים, כך שלמשוואה $\ w+x=y+z$ לא קיים פתרון במספרים ממשיים שווי-צבע ושונים.

עוצמות ביניים

השערת הרצף נחקרת בין השאר באמצעות עוצמות מוגדרות, שערכן תלוי במערכת האקסיומות. כמה עוצמות כאלה מוגדרות באמצעות המבנה של אוסף תת-הקבוצות האינסופיות של המספרים הטבעיים. למשל, אומרים שתת-קבוצה אינסופית A מפצלת תת-קבוצה אינסופית B, אם גם החיתוך וגם ההפרש B-A הם אינסופיים. האינווריאנט $\ {\mathfrak {s}}$ מוגדר כעוצמה הקטנה ביותר של אוסף תת-קבוצות אינסופיות, שיש בו חבר המפצל כל תת-קבוצה אינסופית נתונה. האינווריאנט $\ {\mathfrak {r}}$ מוגדר כעוצמה הקטנה ביותר של אוסף תת-קבוצות אינסופיות שאין אף תת-קבוצה אינסופית המפצלת את כולן. ברור ש-$\ \aleph _{0}\leq {\mathfrak {r}},{\mathfrak {s}}\leq 2^{\aleph _{0}}$. יש מודל של ZFC שבו $\ \aleph _{1}={\mathfrak {r}}<{\mathfrak {s}}={\mathfrak {c}}=\aleph _{2}$.

השערת הרצף המוכללת

השערת הרצף המוכללת (GCH) אומרת שבין עוצמה אינסופית $\ |S|$ לעוצמת קבוצת החזקה $\ 2^{|S|}$ (הגדולה ממנה לפי משפט קנטור), אין אף עוצמות אחרות.

השערת הרצף המוכללת חזקה די הצורך לגרור גם את אקסיומת הבחירה. ההוכחה מתבססת על מספרי הרטוג.

השערת הרצף המוכללת מתקיימת במודל הקבוצות הניתנות לבנייה ולכן במובן מסוים "קל" להראות את העקביות שלה. בנוסף, עבור מודל התחלתי כלשהו של ZFC, קיימת כפייה שמובילה למודל שמקיים את השערת הרצף.

במונים סדירים, משפט איסטון מראה כי ניתן באמצעות כפייה להפר את השערת הרצף כרצוננו כאשר האילוצים היחידים שצריכים להתקיים הם:

• המונוטוניות של פונקציית הרצף: אם $\kappa <\lambda$ אז $2^{\kappa }\leq 2^{\lambda }$
• משפט קניג: ${\mbox{cf}}(2^{\kappa })>\kappa$ כאשר cf היא הקופינליות של הסודר.

הוכחת העקביות של הפרת השערת הרצף המוכללת, באופן לא טריוויאלי, במונים חריגים היא קשה בהרבה ודורשת הנחת מונים גדולים. למשל כדי לבנות מודל בו מתקיים $2^{\aleph _{\omega }}>\aleph _{\omega +1},\forall n<\omega \,\,2^{\aleph _{n}}<\aleph _{\omega }$ חייבים להניח קיום מונה חזק יותר ממונה מדיד. ראו השערת המונה החריג.

ראו גם

• אקסיומת הבנייה
• משפט קנטור-בנדיקסון

קישורים חיצוניים

• השערת הרצף, באתר MathWorld (באנגלית)   
• 
  שגיאות פרמטריות בתבנית:בריטניקה
  פרמטרי חובה [ 1 ] חסרים

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

29472600השערת הרצף