חילוק

$\ 20:4=5$

באריתמטיקה, חילוק היא פעולה בינארית ההפוכה לכפל. בפעולת חילוק נתונים שני מספרים. הראשון שאותו מחלקים, נקרא "מחולק". והשני ,שבו מחלקים את הראשון, נקרא "מחלק". המספר המתקבל כתוצאה מהחילוק נקרא "מנה". את החילוק מייצגים פעמים רבות כשבר. פעולת החילוק מסומנת בסימן $\ /$ או בסימן $\ :$. באופן מעשי לרוב נהוג לכתוב חילוק באמצעות שבר, כאשר המחולק הוא המונה והמחלק הוא המכנה. חילוק היא הפעולה ההפוכה לכפל, כלומר אם $\ a\times b=c$, הרי פעולת החילוק של c ב-b תיתן תשובה לשאלה: כאשר במשוואה זו ידועים ערכיהם של b ושל c, מהו ערכו של a? ניתן גם להגדיר חילוק ככפל בהופכי.

יש שתי דוגמאות שכיחות לחילוק של מספרים שלמים - "חילוק לחלקים" ו"חילוק להכלה". חילוק לחלקים היא פעולה של חלוקת מספר לחלקים שווים: אם מחלקים a איברים ל-b קבוצות שוות בגודלן, כמה איברים יש בכל קבוצה? לדוגמה, אם חילקנו עשר פרוסות עוגה בין חמישה ילדים, כמה פרוסות קיבל כל ילד? המחלק מראה פי כמה להקטין את המחולק, והמנה מציינת כמות מאותו סוג של המחולק. בתמונה מודגם חילוק לחלקים באמצעות תפוזים: קבוצה של 20 תפוזים מתחלקת ל-4 חלקים, לכן בכל חלק יהיו 5 תפוזים.

המשמעות השנייה היא חילוק להכלה. שם זה נובע מכך שבחלוקה זו, אנו מקבלים מידע על החלק ועל השלם, ושואלים כמה פעמים החלק מוכל בשלם. בחילוק להכלה נשאלת השאלה, אם מחלקים a אברים למספר קבוצות שוות בגודל b, לכמה קבוצות חילקנו? לדוגמה, אם חילקנו עשר פרוסות עוגה בין מספר ילדים בצורה שווה כך שכל ילד קיבל שתי פרוסות, כמה ילדים יש? בדוגמת העוגות, אנו יודעים שגודל כל חלק הוא 2 וגודל השלם הוא 10, ושואלים את עצמנו כמה פעמים נכנס (מוכל) 2 ב-10. בחילוק להכלה למחולק ולמחלק שם אחד, והמנה נכתבת בלי שם, כי היא מראה כמה פעמים כלול המחלק במחולק.

תכונת התחלקות

עבור מספרים טבעיים, אומרים ש b מחלק את c, אם קיים מספר טבעי a כך שמתקיים ${\frac {c}{b}}=a$ למשל, 6 מחלק את 18 משום ש- $3\times 6=18$ (לפעמים כותבים $\ b|c$ כדי לציין ש- b מחלק את c). פעולת החילוק אינה סגורה בקבוצת המספרים הטבעיים, וגם לא בקבוצת המספרים השלמים, משום שחילוק של 10 ב-3, למשל, נותן תוצאה שאינה מספר שלם. לשם ביצוע פעולה כזאת יש להיעזר ב"שארית"- ההפרש בין המחולק לבין המספר השלם הגדול ביותר (והקטן מהמחולק) המתחלק במספר המחלק, או שניתן להיעזר במספר מעורב. בדוגמה, הפעולה $10:3$ תיתן את התשובה 3 ושארית 1, כי $10-3\cdot 3=1$, או פשוט לכתוב כשבר מעורב $3{\frac {1}{3}}$.

כדי לבדוק האם שני מספרים מתחלקים זה בזה, משתמשים במבחני התחלקות.

הרחבות

חילוק מספרים רציונליים

כדי לחלק מספרים רציונליים, משתמשים בתכונה:

${p/q \over r/s}={p \over q}\times {s \over r}={ps \over qr}$.

חילוק מספרים מרוכבים

כדי לחלק מספרים מרוכבים, מכפילים מחלק ומחולק בצמוד של המספר. התהליך הוא כזה:

${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)\cdot (c-di)}{(c+di)\cdot (c-di)}}={\frac {(a+bi)\cdot (c-di)}{|c+di|^{2}}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {-ad+bc}{c^{2}+d^{2}}}i$

ניתן גם להגדיר חילוק בעזרת ההצגה הקוטבית, תוך שימוש בנוסחת אוילר:

${pe^{iq} \over re^{is}}={p \over r}e^{i(q-s)}$.

חילוק באפס

ערך מורחב – חלוקה באפס

התוצאה של חלוקה באפס אינה מוגדרת היטב. זאת מכיוון שמכפלת כל מספר באפס נותנת אפס, ולכן לכל $\ c\neq 0$ לא קיים מספר $\ a$ כך ש$\ a\times 0=c$, ואילו כאשר המחלק גם הוא 0 המשוואה היא $\ a\times 0=0$ ואז כל מספר הוא תשובה לשאלה, ולכן התשובה איננה חד משמעית. ישנם פיתוחים מתמטיים של קבוצות המספרים כך שחלוקה באפס תתאפשר (תוך ויתור על חלק מתכונות המספרים), אך באופן כללי תוצאה של חלוקה באפס נותרה בלתי מוגדרת.

חילוק מודולרי

ערך מורחב – חילוק מודולרי

ניתן גם להגדיר חילוק בחשבון מודולרי. החילוק מוגדר היטב אם מספר המודולו הוא ראשוני.

ראו גם

• ארבע פעולות החשבון
• חלוקה בשתיים

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0