משוואת קלאוזיוס-קלפרון

דיאגרמת פאזות T-P

משוואת קלאוזיוס-קלפרון (Clausius-Clapeyron, על שם רודולף קלאוזיוס ואמיל קלפרון) בתרמודינמיקה, היא משוואה המתארת את הקשר בין הלחץ והטמפרטורה במעבר בין שני מצבי צבירה של החומר.

נהוג לתאר את מצבי הצבירה של החומר בדיאגרמת פאזות T-P. זהו תרשים דו-ממדי שבו ציר x מתאר את הטמפרטורה T וציר y – את הלחץ P: העקומות בתרשים מפרידות בין אזורים שמתארים מצבי הצבירה שונים של החומר: גז, נוזל ומוצק. בתנאי טמפרטורה ולחץ שנמצאים על העקומות החומר יכול להימצא בשיווי משקל בין שתי הפאזות - חלק מהחומר יהיה בפאזה אחת והשאר בפאזה האחרת. משוואת קלאוזיוס-קלפרון מאפשרת לחשב את העקומות האלה, הנקראות עקומות דו־קיום או קווי דו־קיום.

משוואת קלאוזיוס-קלפרון לקווי הדו-קיום היא:

${\frac {dP}{dT}}={\frac {L}{T\Delta V}}$

כאשר $\ dP/dT$ הוא השיפוע (נגזרת) של עקומת הדו-קיום, $\ L$ הוא החום הכמוס, $\ T$ היא הטמפרטורה ו-$\ \Delta V$ הוא השינוי בנפח בעת שינוי הפאזה.

הסקת המשוואה

נניח שתי פאזות, שנסמן ב־A ו־B, שנמצאות במגע תרמי ושיווי משקל אחת עם השנייה. בתנאים האלו, הפוטנציאלים הכימיים של שתי הפאזות, מקיימים את הקשר $\mu _{A}=\mu _{B}$. מאחר שתנאי זה מתקיים בכל נקודה על עקומת הדו-קיום, תזוזה על גבי העקומה תשמור את היחס. בניסוח מתמטי, זה אומר שבתזוזה קטנה על העקומה, $d\mu _{A}=d\mu _{B}$.

אחד מקשרי גיבס-דוהם הוא

$\ d\mu =-sdT+vdP$

כאשר s ו־v הם האנטרופיה פר חלקיק והנפח פר חלקיק, בהתאמה. מהצבה במשוואה הקודמת, מתקבל הקשר:

$\ -s_{A}dT+v_{A}dP=-s_{B}dT+v_{B}dP$

ולאחר סידור מחדש, הקשר מקבל את הצורה

$\ {\frac {dP}{dT}}={\frac {s_{A}-s_{B}}{v_{A}-v_{B}}}$

בתהליך הפיך, השינוי בחום δQ נתון על ידי δQ=T dS ולכן החום שהושקע בשינוי מצב הצבירה הוא

$\ T(s_{A}-s_{B})$

וזו בדיוק ההגדרה של חום כמוס, שאותו מקובל לסמן באות $L$. הצבה של ההגדרה בקשר שקיבלנו, יחד עם הסימון $\Delta V=V_{A}-V_{B}$, נותנים

${\frac {dP}{dT}}={\frac {L}{T\Delta V}}$

שהיא משוואת קלאוזיוס-קלפרון.

יישומים

המשוואה משמשת כדי לחשב האם מעבר פאזה כלשהו יתרחש או לא.

לדוגמה, הסבר נפוץ לתופעה של החלקה על הקרח הוא כי הלחץ המוגבר של המחליק על הקרח גורם לו להנתך (להפוך ממוצק לנוזל). האם הסבר זה אכן נכון?

אם T = −2 °C אפשר להשתמש במשוואה עבור מעבר פאזה ממוצק לנוזל, ואז

${\Delta P}={\frac {L}{T\Delta V}}{\Delta T}$

ובהצבת נתונים אופיינים: L = 334 kJ/kg, T=271K, $\Delta V$ = -9.05 *10^-5m³/kg,

ואת העובדה שהלחץ גורם לשינוי ב-2 מעלות קלווין,

$\Delta T$ = 2K,

נקבל שהשינוי בלחץ יהיה

$\Delta P$ = 27.2 MPa.

השווה ללחץ שמפעיל מתאבק סומו (כ-150 ק"ג) שעומד על נעלי עקב (שטח של חצי סמ"ר)!

זהו לחץ הגדול בהרבה מהלחץ שמפעיל מחליק ממוצע על הקרח ולכן הסבר זה הוא שגוי.

ראו גם

• מצב צבירה
• טמפרטורה
• לחץ
• חום כמוס