אידאל (אלגברה)

באלגברה, אידאל הוא תת-קבוצה של חוג, המקיימת תנאים מסוימים. תנאים אלה מבטיחים שאפשר יהיה לבנות חוגי מנה, מהם ניתן לשאוב מידע על החוג המקורי. תפקידם של האידאלים בתורת החוגים דומה לזה של תת החבורות הנורמליות בתורת החבורות.

המונח אידאל מתייחס בדרך כלל לאידאל דו צדדי, שהוא תת-קבוצה של החוג הסגורה לחיבור וחיסור, וכן לכפל מימין או משמאל באיבר של החוג. דרישות אלה שקולות לכך שפעולות החיבור והכפל על קבוצת הקוסטים מוגדרות היטב, באופן המשרה מבנה של חוג מנה.

בחוגים לא קומוטטיביים, מגדירים באופן דומה גם אידאל ימני ואידאל שמאלי, הנקראים אידאלים חד-צדדיים. אידאל חד-צדדי הוא מודול (ימני או שמאלי) מעל החוג.

הגדרה פורמלית

יהא $\ R$ חוג. תת-קבוצה ממש $\ I\subsetneqq R$ שעבורה $\ (I,+)$ היא תת-חבורה של $\ (R,+)$ נקראת אידאל שמאלי אם לכל $\ r\in R$ ולכל $\ i\in I$ מתקיים $\ r\cdot i\in I$; ואידאל ימני אם לכל $\ r\in R$ ולכל $\ i\in I$ מתקיים $\ i\cdot r\in I$. אידאל שמאלי וימני נקרא אידאל דו-צדדי או סתם אידאל.

אידאל אמיתי (בחוג עם יחידה) איננו יכול להכיל את איבר היחידה 1 של החוג, משום שאז ההגדרה תאלץ אותו להכיל את החוג כולו. מכאן נובע שאידאל שמאלי אינו יכול להכיל איברים הפיכים משמאל, בעוד שאידאל ימני אינו יכול להכיל איברים הפיכים מימין.

בחוג חילופי, כל אידאל שמאלי או ימני הוא אידאל. בחוג לא חילופי יש הבדלים רבים בין שתי התכונות. בדרך כלל, מועיל לחשוב על אידאל שמאלי כקבוצה "גדולה", בעוד שאידאל (דו-צדדי) הוא קבוצה "קטנה". הסיבה היא שאידאלים דו-צדדיים מנועים מלכלול הרבה יותר איברים מאשר האידאלים החד-צדדיים.

דוגמאות

אידאל נוצר

אידאל נוצר $\langle X\rangle$ של חוג R על ידי קבוצה X המוכלת ב-R הוא האידאל הקטן ביותר של R המכיל את X, והוא קבוצת הסכומים הסופיים מהצורה $\ \langle X\rangle =\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}{r'}_{i}|\ r_{i},{r'}_{i}\in R,\ x_{i}\in X\}$ .

בדומה, אידאל נוצר שמאלי RX של חוג R על ידי קבוצה X המוכלת ב-R הוא האידאל השמאלי הקטן ביותר של R המכיל את X, והוא קבוצת הסכומים הסופיים מהצורה $\ RX=\{\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}|\ r_{i}\in R,\ x_{i}\in X\}$ .

ואידאל נוצר ימני XR של חוג R על ידי קבוצה X המוכלת ב-R הוא האידאל הימני הקטן ביותר של R המכיל את X, והוא קבוצת הסכומים הסופיים מהצורה $\ XR=\{\sum _{i=1}^{n}x_{i}r_{i}|\ r_{i}\in R,\ x_{i}\in X\}$ .

מוסכם כי האידאל (שמאלי, ימני ודו-צדדי) הנוצר על ידי קבוצה ריקה הוא האידאל המכיל את אפס בלבד.

אידאל ראשי

אידאל הנוצר על ידי איבר אחד נקרא אידאל ראשי. לאידאל שמאלי ראשי יש הצורה $\ Ra=\{ra|r\in R\}$, ולאידאל ימני ראשי הצורה הדואלית, $\ aR=\{ar|r\in R\}$. האידאל (הדו-צדדי) הנוצר על ידי $\,a$ הוא קבוצה גדולה בהרבה: $\ RaR=\{r_{1}ar_{1}'+\dots r_{n}ar_{n}'\}$, הכוללת את כל המכפלות $\ rar'$ וכל הסכומים שלהן. כל אידאל הוא סכום (לאו דווקא סופי) של אידאלים כאלה.

תחום שלמות שבו כל האידאלים ראשיים נקרא תחום ראשי. לדוגמה, בחוג המספרים השלמים, הקבוצה $\ 3\mathbb {Z}$, קבוצת כל המספרים השלמים המתחלקים בשלוש, היא אידאל ראשי. קל לוודא שמדובר באידאל. (כיוון שסכום שתי כפולות של שלוש הוא כפולה של שלוש, מספר נגדי לכפולה של שלוש הוא כפולה של שלוש ומכפלת מספר המתחלק בשלוש בכל מספר שלם אחר תתחלק גם היא בשלוש). חוג המספרים השלמים הוא חוג ראשי.

גרעין של הומומורפיזם

לכל הומומורפיזם $\ \varphi :R\rightarrow S$ בין שני חוגים $\ R,S$, הגרעין $\ {\mbox{Ker}}(\varphi )=\{x\in R:\varphi (x)=0\}$ הוא אידאל דו-צדדי של R.

הגדרות ומשפטים הנוגעים לאידאלים

ישנם כמה סוגים חשובים במיוחד של אידאלים, המוגדרים על-פי תכונות של חוג המנה. אידאל ראשוני הוא אידאל P של החוג, שעבורו החוג $\ R/P$ הוא חוג ראשוני. אפשר לנסח תכונה זו גם כך: לכל שני אידאלים A,B, אם המכפלה AB מוכלת ב- P, אז אחד מן האידאלים מוכרח להיות מוכל ב- P. בחוג חילופי, אידאל הוא ראשוני אם ורק אם אינו יכול להכיל מכפלה ab של איברים, בלי להכיל אחד מן האיברים.

דוגמה: בחוג המספרים השלמים $\ \mathbb {Z}$, כל אידאל הוא מהצורה $\ \mathbb {Z} n$. אידאל כזה הוא ראשוני אם ורק אם המספר n הוא מספר ראשוני, או אפס. אכן, אם מספר ראשוני p מחלק מכפלה ab של מספרים שלמים, אז הוא חייב לחלק אחד מהם.

אידאל מקסימלי הוא אידאל שאינו מוכל באידאל גדול יותר, ולכן הוא מקסימלי עבור יחס ההכלה. ניתן להוכיח באמצעות הלמה של צורן שבכל חוג עם יחידה, כל אידאל מוכל באידאל מקסימלי. כל אידאל מקסימלי הוא ראשוני, אבל ההיפך אינו נכון (לדוגמה, אידאל האפס של חוג השלמים הוא ראשוני ואינו מקסימלי). חוג שמכיל אידאל מקסימלי יחיד נקרא חוג מקומי.

בניסוח שקול, M הוא אידאל מקסימלי אם ורק אם חוג המנה $\ R/M$ הוא חוג פשוט. (כלומר, חוג שאין בו אידאלים לא טריוויאליים) מכאן שלכל חוג קיימים חוגי מנה פשוטים; תכונה זו הופכת את החוגים הפשוטים לאבני הבניין של תורת החוגים. כל חוג חילופי פשוט הוא שדה.

אידאל מינימלי הוא אידאל שאינו מכיל אף אידאל פרט לאפס. למרות שלכאורה מדובר בתכונות סימטריות, אידאלים מינימליים הם בעלי תכונות שונות לחלוטין מאלו של אידאלים מקסימליים. בראש וראשונה, אידאלים כאלה לא תמיד קיימים (למשל, בחוג השלמים). כל אידאל מינימלי הוא ראשי, אבל ההיפך אינו נכון.