אי-שוויון המשולש

במתמטיקה, אי־שוויון המשולש הוא אי־שוויון מהצורה $d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)$ , כאשר $d(\cdot ,\cdot )$ היא פונקציית מרחק.

אי־השוויון מתאר את העובדה הגאומטרית שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות; בפרט, אורכה של צלע במשולש אינו עולה על סכום אורכי הצלעות האחרות. אי־שוויון המשולש נחשב לתכונה יסודית של כל שיטה למדידת מרחק, ומשום כך מניחים, כאקסיומה, שהוא מתקיים בכל מרחב מטרי או נורמי.

הגרסה החזקה $d(A,C)\leq \max {\Big \{}d(A,B),d(B,C){\Big \}}$ נקראת אי־שוויון המשולש למטריקות לא־ארכימדיות.

אי־שוויון המשולש בין מספרים ממשיים

בין המספרים הממשיים מודדים מרחק באמצעות הערך המוחלט, ולכן אי־שוויון המשולש הוא $|a-c|\leq |a-b|+|b-c|$ . כשבוחרים $a=x+y,b=y,c=0$ מתקבלת הצורה החלופית $|x+y|\leq |x|+|y|$ . צורה זו אפשר להוכיח בעזרת חיבור שני אי־השוויונות $-|x|\leq x\leq |x|,-|y|\leq y\leq |y|$ , או בדיקה של האפשרויות השונות לסימנים של $x$ ושל $y$ .

גרסה נוספת של אי־שוויון המשולש היא ${\Big |}|x|-|y|{\Big |}\leq |x-y|$ .

הוכחה פורמלית

אם $x,y$ חיוביים אז $|x+y|=x+y=|x|+|y|$ . אם שניהם שליליים אז $|x+y|=-(x+y)=(-x)+(-y)=|x|+|y|$ .

המקרה היחיד שבו יש מה להוכיח הוא כאשר אחד המשתנים חיובי ואחד שלילי. כיון ששני האגפים סימטריים, אפשר להניח כי $x<0<y$ , ואז $|x+y|=\max {\bigl \{}x+y,-x-y{\bigr \}}\leq \max\{y,-x\}<y+(-x)=|y|+|x|$ .

הוכחה משנית

לכל $a\in \mathbb {R}$ מתקיים $a\leq |a|$ וגם $a^{2}=|a|^{2}$ . לכן $ab\leq |ab|$ .

נכפיל ב־2, נוסיף ביטויים מתאימים לשני האגפים ונקבל

$${\begin{matrix}a^{2}+2ab+b^{2}\leq |a|^{2}+2|ab|+|b|^{2}\quad \Rightarrow \quad (a+b)^{2}\leq {\bigl (}|a|+|b|{\bigr )}^{2}\\\\{\sqrt {(a+b)^{2}}}\leq {\sqrt {{\bigl (}|a|+|b|{\bigr )}^{2}}}\quad \Rightarrow \quad |a+b|\leq {\Big |}|a|+|b|{\Big |}\\\\\Rightarrow \quad |a+b|\leq |a|+|b|\end{matrix}}$$

$\blacksquare$

המקרה המרוכב

אי-שוויון המשולש במישור המרוכב הוא הטענה $|x+y|\leq |x|+|y|$ , המתייחסת למספרים מרוכבים. ניתן להוכיח את נכונותו שם בכמה דרכים: גאומטרית, הוא שקול לתכונות היסוד של משולש; אלגברית, אפשר לקבל אותו על ידי העברת אגפים מתאימה והעלאה בריבוע; וניתן להסיק אותו מאי-השוויון הממשי באמצעות משפט פיתגורס.

אי־שוויון המשולש במרחבים מופשטים

אי־שוויון המשולש מבטא את העובדה שלא ניתן לקצר את הדרך מ־$A$ ל־$C$ על־ידי מעבר בנקודה $B$ . זוהי תכונה יסודית כל כך של מושג ה"מרחק", עד שהיא מהווה אחת מהאקסיומות המגדירות מטריקה ומרחב מטרי. מאותה סיבה, מניחים את האקסיומה $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ בהגדרה של נורמה ומרחב נורמי.

הצד השני של אי־שוויון המשולש, אותו ניתן להוכיח על ידי העברת אגפים, הוא $d(A,C)\geq d(A,B)-d(B,C)$ .

ראו גם

• אי-שוויון המשולש האינטגרלי