אלגברה לינארית

שני מישורים במרחב שהחיתוך ביניהם הוא ישר. הנקודות בכל מישור הן הפתרונות של משוואה לינארית בשלושה נעלמים ונקודות הישר הן הפתרונות של שתי המשוואות יחדיו.

אלגברה לינארית היא ענף של האלגברה העוסק בחקר התכונות של וקטורים, מרחבים וקטוריים (או באופן יותר כללי מודולים), מטריצות, העתקות לינאריות ומערכות של משוואות לינאריות. מרחבים וקטוריים הם נושא מרכזי במתמטיקה, ולכן נעשה שימוש נרחב באלגברה לינארית במסגרת האלגברה המופשטת, האנליזה הפונקציונלית והגאומטריה האנליטית. כמו כן נעשה שימוש באלגברה לינארית במסגרת מדעי החברה ומדעי הטבע.

היסטוריה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

יסודות האלגברה הלינארית הונחו על ידי רנה דקארט שפיתח את מערכת הצירים הקרטזית (הקרויה על שמו) ב-1637 לתיאור המישור והשתמש בה במסגרת הגאומטריה האנליטית לתקוף בעיות של הגאומטריה הקלאסית. על מנת לציין נקודה במישור, השתמש בסימון של זוג סדור $(x,y)$ .

הפיזיקאי האנגלי סר אייזק ניוטון השתמש בווקטורים אותם תיאר כ"חץ" במרחב התלת-ממדי במסגרת המכניקה שפיתח. מיקומו של הגוף במרחב היה וקטור בעל 3 רכיבים ${\vec {r}}=(x,y,z)$ ואף הכוח היה וקטור במרחב, עם גודל וכיוון, שהשפיע על התנועה של הגוף לפי חוק התנועה השני של ניוטון ${\vec {F}}=m{\vec {a}}=m{\ddot {\vec {r}}}$, כאן נקודתיים מסמלות נגזרת שנייה לפי הזמן. ניוטון שילב חשבון אינפיניטסימלי עם הטיפול בווקטורים ובכך הוליד את האנליזה הווקטורית שנהפכה לאחד הכלים המתמטיים החשובים ביותר בפיזיקה הקלאסית.

האלגברה הלינארית המודרנית החלה את דרכה בשנים 1843 ו-1844. ב-1843 גילה ויליאם רואן המילטון (שטבע את המונח וקטור בהקשרו האלגברי) את אלגברת הקווטרניונים. ב-1844 פרסם הרמן גראסמן את ספרו "על אלגברה לינארית". ב-1857 גילה ארתור קיילי את המטריצה - אחת מאבני היסוד של האלגברה הלינארית.

למרות פיתוחים אלו, האלגברה הלינארית פותחה בעיקר במאה ה-20.

מבוא בסיסי

תחילתה של האלגברה הלינארית במחקר וקטורים במרחב האוקלידי הדו והתלת־ממדי, כאשר הם מיוצגים בצורה קרטזית. במרחבים אלו וקטור הוא קטע בעל אורך וכיוון מסוימים. באמצעות וקטורים ניתן לתאר ישויות פיזיקליות מסוימות כמו כוחות או מהירות. ניתן לחבר אותם זה עם זה וניתן לכפול אותם במספרים (שבהקשר זה מכונים סקלרים). בכך מקיימים המרחבים את התכונות של מרחב וקטורי. על הווקטורים ניתן לחשוב גם כעל חצים בעלי אורך וכיוון המצביעים על נקודות במרחב, וגם כעל הנקודות הללו עצמן. ניתן לתאר וקטור דו ממדי על ידי שני מספרים, המתארים את הקוארדינטה ה-$x$ וה-$y$ של הנקודה שבראש החץ. בצורה דומה ניתן לתאר וקטור תלת ממדי באמצעות שלושה מספרים.

האלגברה הלינארית המודרנית הכלילה מרחבים אלו למרחבים בעלי מספר שרירותי של ממדים, ואפילו מספר אינסופי של ממדים. רוב התוצאות המועילות מהמקרה הדו והתלת ממדי ניתנות להכללה למספר כלשהו של ממדים. אף על פי שקשה לדמיין ובלתי אפשרי לצייר וקטורים במספר שרירותי של ממדים, ניתן לתאר אותם כסדרה של מספרים, בצורה דומה לזו שבה מתארים וקטורים דו ותלת־ממדיים. כך למשל ניתן לתאר את המרחב-זמן באמצעות וקטורים עם ארבעה ממדים. ניתן לחשוב על כל ממד נוסף של וקטור כעל "דרגת חופש" נוספת שיש לו – כלומר, דרך נוספת להבדיל בינו ובין וקטורים אחרים, תוך שמירה על התכונות הקיימות.

השלב הבא בהכללה מגיע מתחום האלגברה המופשטת. אף שהמרחבים הווקטורים הוגדרו במקור מעל המספרים הממשיים או המרוכבים (כלומר, כסדרה של מספרים ממשיים או מרוכבים), אין הכרח בכך, וניתן לחשוב על וקטורים שמוגדרים גם מעל קבוצות בעלות תכונות דומות לאלו של המספרים הממשיים – שיש בהן מושגים של חיבור וכפל שמקיימים מספר תכונות בסיסיות (כמו חוק החילוף וחוק הפילוג). קבוצות כאלו מכונות שדות.

מתברר כי אין צורך לחשוב על וקטורים דווקא כעל סדרה של איברים מתוך השדה, אלא ניתן לחשוב עליהם כעל קבוצה שרירותית שקיימת בה פעולה של חיבור, המקיימת מספר תכונות בסיסיות. קבוצה עם פעולה כזו מכונה חבורה אבלית. קבוצה כזו תהיה מרחב וקטורי מעל שדה מסוים אם ניתן בנוסף להגדיר פעולה של "כפל" בין איברי הקבוצה לאיברי השדה באופן שיישמר תכונות בסיסיות כגון אסוציאטיביות של הכפל, חוק הפילוג ועוד. פעולה זו מקבילה לכפל וקטור של מספרים ממשיים במספר ממשי. בשל מקורה של פעולת הכפל הזו נוהגים לכנותה "כפל בסקלר" ואברי השדה בהם כופלים את הווקטורים מכונים "סקלרים".

גם לאחר הכללה זו נשמרות רוב התכונות המעניינות שהתקיימו במרחבים הדו והתלת־ממדיים מעל המספרים הממשיים, אולם כעת הווקטורים יכולים לייצג אוסף גדול בהרבה של אובייקטים מתמטיים: למשל, אוסף המטריצות מסדר מסוים הן מרחב וקטורי, אוסף הפונקציות הרציפות בקטע $[0,1]$ הוא מרחב וקטורי, ואפילו אוסף הפונקציות הלינאריות בין מרחבים וקטוריים מהווה בעצמו מרחב וקטורי.

כדי לתאר בצורה נוחה מרחבים וקטוריים מחפשים קבוצות של וקטורים שניתן להציג כל איבר במרחב כצירוף לינארי שלהם: סכום של מכפלות שלהם בסקלרים. על קבוצות כאלו אומרים שהן פורשות את המרחב. במיוחד מעניינות הקבוצות המינימליות מבחינת מספר האיברים שלהן שעדיין פורשות את המרחב. קבוצות כאלו מכונות בסיסים. די בידע על אברי הבסיס כדי לתאר את המרחב הווקטורי היטב. למשל, כשמגדירים העתקה לינארית (פונקציה בין שני מרחבים וקטוריים שמקיימת תכונות של לינאריות), די לדעת את פעולתה על אברי הבסיס כדי לדעת את פעולתה על כל איבר במרחב. מתברר כי מספר האברים בכל בסיס של המרחב זהה, ומספר האברים שנמצאים בבסיס של המרחב תואם את המושג האינטואיטיבי שיש לנו על הממד שלו, ועל כן הגדרתו הפורמלית של הממד של המרחב היא כמספר האיברים שבבסיס כלשהו שלו.

האלגברה הלינארית עוסקת גם בחקירה של טרנספורמציות לינאריות בין מרחבים וקטוריים. מתברר שקיים קשר בין אוסף הטרנספורמציות ממרחב בעל n ממדים למרחב בעל m ממדים ובין אוסף המטריצות שהאיברים שלהן לקוחים מהשדה שמעליו מוגדרים המרחבים והגודל שלהן הוא m על n - בהינתן בסיסים של שני המרחבים, לכל טרנספורמציה מתאימה מטריצה אחת ויחידה, ולכל מטריצה מתאימה טרנספורמציה אחת ויחידה. בשל כך, מחקר התכונות של מטריצות מהווה חלק חשוב מהאלגברה הלינארית.

לאלגברה הלינארית שימושים רבים במתמטיקה ופיזיקה, בשל הכוח הרב שלה בטיפול בבעיות לינאריות. פעמים רבות במתמטיקה כאשר נתקלים בבעיות קשות מנסים לקרב אותן באמצעות תיאור לינארי של הבעיה, ולפתור את הקירוב באמצעות הכלים שמספקת האלגברה הלינארית. כך למשל מושג הדיפרנציאביליות בחשבון אינפיניטסימלי עוסק ביכולת לקרב את התנהגותה של פונקציה בנקודה מסוימת על ידי העתקה לינארית. משוואות דיפרנציאליות לינאריות קל יחסית לפתור ולחקור את תכונות אוסף הפתרונות שלהן.

הכללות של מרחבים וקטורים כוללים את מרחב בנך שהוא מרחב וקטורי שהוא גם מרחב נורמי שלם, ומרחב הילברט שהוא מרחב מכפלה פנימית שלם. מרחבים אלה נחקרים במסגרת אנליזה פונקציונלית. יישום נפוץ של תורות אלה היא אנליזה הרמונית: הצגת פונקציות באמצעות טור פורייה (כאשר הפונקציה מחזורית) והתמרת פורייה (כאשר היא לא).

בפיזיקה, המרחב התלת-ממדי והמרחב-זמן ה-4 ממדי מיוצגים על ידי מרחבים וקטורים – המרחב האוקלידי התלת-ממדי ויריעה לורנציאנית (השווה למרחב מינקובסקי בתורת היחסות הפרטית) בהתאמה. מרחבי הילברט מהווים את הבסיס המתמטי למכניקת הקוונטים.

לקריאה נוספת

• אלגברה לינארית, האוניברסיטה הפתוחה
• אלגברה לינארית 2, האוניברסיטה הפתוחה, תשמ"ב
• שמשון עמיצור, אלגברה א', האוניברסיטה העברית, תש"ל
• אמנון יקותיאלי, מבוא לאלגברה לינארית, המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בן-גוריון
• בן ציון קון ואברהם ברמן, אלגברה לינארית
• סיימור ליפשיץ, אלגברה לינארית
• שלמה הבלין ויפית מעין, אלגברה לינארית [1]

קישורים חיצוניים

• Linear Algebra Toolkit
• אלגברה לינארית – קורס שלם בוידאו (אנגלית)
• קורס שלם בוידאו (עברית)
• תוכנה חופשית לוויזואליזציה של מושגי יסוד באלגברה לינארית.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0