אקסטרפולציה

בתחום האנליזה הנומרית, אֶקְסְטְרַפּוֹלַצְיָה (בעברית: חִיּוּץ) הוא שמו של התהליך המתאר יצירת נקודות חדשות מחוץ לתחום סופי של נתונים ידועים. התהליך דומה לאינטרפולציה, שזהו התהליך ליצירת נקודות בתוך התחום הנתון, אולם הוודאות והדיוק של האקסטרפולציה חלשים יותר מאלה של האינטרפולציה. כמו כן באקסטרפולציה עצמה, ככל שהנקודה החדשה רחוקה מתחום המדידה, כן פוחתת ודאותה.

אחת הדרכים הבסיסיות לביצוע אקסטרפולציה היא יצירת פונקציה על בסיס הנתונים הקיימים והצבה של ערכים מחוץ לתחום בפונקציה שהתקבלה.

אקסטרפולציה לינארית

אקסטרפולציה לינארית נעשית על ידי לקיחת הערכים האחרונים בתחום, יצירת ישר העובר ביניהם והמשכתו אל מחוץ לתחום. שיטה זו יעילה בעיקר למקרים שהגרף של הנתונים קרוב לקו ישר, והמרחק של הערכים החדשים מהנתונים הוא קטן.

ניתן לשפר את הדיוק של האקסטרפולציה על ידי חישוב השיפוע הממוצע בין הערכים הנתונים, או בין חלק מסוים של ערכים נתונים.

אקסטרפולציה באמצעות פולינום

בהינתן אוסף נקודות $(x_{k},y_{k}),k=1\ldots n$ קיים פולינום אחד ויחיד ממעלה שאינה עולה על $\ n-1$ אשר עובר דרך כל הנקודות הנתונות, וכל שנותר הוא לחשב אותו.

צורת לגראנז'

דרך אחת לחשב את הפולינום היא באמצעות השיטה שמכונה "הפולינום בצורת לגראנז'": עבור אוסף הנקודות, הפולינום בצורת לגראנז' המתאים הוא:

$p(x)=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\prod _{k=1;k\neq j}^{n}{\frac {x-x_{k}}{x_{j}-x_{k}}}$

קל לראות כי לכל $\ q\neq j$ מתקיים $\ P_{j}(x_{q})=0$ וכן: $\ P_{j}(x_{j})=y_{j}$. לכן ברור כי: $\forall k:P(x_{k})=y_{k}$, כלומר הפולינום שהוגדר בצורת לגראנז' אכן עובר דרך הנקודות הנתונות.

צורת ניוטון

דרך נוספת לחשב את הפולינום היא באמצעות צורת ניוטון. לשיטה זו יתרונות על פני השיטה הקודמת בכך שהיא דורשת פחות פעולות חישוב, וקל להוסיף לפולינום הקיים נקודות נוספות, בעוד שבשיטת לגראנז' יש לחשב הכול מחדש.

צורת ניוטון מחושבת כך:

$\ p(x)=\sum _{i=1}^{n}[x_{1},x_{2},\dots ,x_{i}]\prod _{k=1}^{i-1}\left(x-x_{k}\right)$

כאשר הביטוי $[x_{1},x_{2},\dots ,x_{i}]$ נקרא "הפרש מחולק", והוא מוגדר בצורה הרקורסיבית הבאה:

$\ [x_{k}]=y_{k}$

$[x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}]={\frac {[x_{2},\dots ,x_{k}]-[x_{1},x_{2},\dots ,x_{k-1}]}{x_{k}-x_{1}}}$

שיטה זו מניבה אותו הפולינום שהניבה שיטת לגראנז', אך השימוש בה יעיל יותר; כדי להוסיף נקודה נוספת לאקסטרפולציה די לחשב את האיבר החדש שמוסיפים לסכום, ואין צורך לחשב את הסכום כולו מחדש.