אקסיומת המקבילים
אקסיומת המקבילים היא האחרונה מבין 5 ההנחות בספרו של אוקלידס, "יסודות", שבו פיתח את הגאומטריה האוקלידית מעקרונות היסוד שלה. האקסיומה ידועה גם בשם "האקסיומה החמישית של אוקלידס".
אוקלידס ניסח את האקסיומה החמישית כך:
- אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזוויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים קטן מסכום שתי זוויות ישרות, אזי אם יוארכו הישרים מספיק באותו צד הם ייפגשו.
טענה זו שקולה לניסוח המקובל של האקסיומה, הקובע כי "דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד ויחיד שמקביל לישר הנתון".
האקסיומה אצל אוקלידס
ספרו של אוקלידס "יסודות" מתחיל מהגדרת ישויות גאומטריות בסיסיות ולאחריהן מופיעות 5 הנחות על גופים אלו. ארבע הראשונות הן:
- דרך כל שתי נקודות אפשר להעביר קטע.
- כל קטע אפשר להמשיך ללא גבול כקו ישר.
- בהינתן קטע ישר, ניתן להעביר מעגל שמרכזו בנקודת קצהו האחת, ורדיוסו שווה לקטע הנתון.
- כל הזוויות הישרות חופפות זו לזו.
ההנחה החמישית, היא אקסיומת המקבילים, בולטת בין שאר ההנחות של הגאומטריה האוקלידית באורכה ובמורכבותה. רמז לכך שאוקלידס עצמו הסתייג ממנה ניתן למצוא בכך שהוא מוכיח את עשרים ושמונה הטענות הראשונות ב"יסודות" בלי להזדקק לה.
בשנת 1752 ראתה אור מהדורה[1] שחילקה את האקסיומות באופן מעט שונה, והיא שהייתה בידיהם של מדעני המאה ה-19. לפי מהדורה זו נמנו שלושה הנחות (פוסטולטים) ו-11 אקסיומות. אקסיומת המקבילים מופיעה כאקסיומה ה-11. בשל כך נקראת לעיתים אקסיומת המקבילים בספרות המאה ה-19 "האקסיומה ה-11"[2][3]
המשפט המשלים לאקסיומת המקבילים
אוקלידס לא ציין את המשפט המשלים לאקסיומת המקבילים, הקובע כי:
- אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזוויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים שווה לסכום שתי זוויות ישרות, אזי הישרים מקבילים ולעולם לא ייפגשו.
ב"יסודות" מופיע משפט השקול למשפט זה (ספר I, משפט 17): סכום שתי זוויות במשולש קטן משתי זוויות ישרות. ההוכחה מתבססת על משפט קודם, הקובע: במשולש, זווית חיצונית גדולה מאחת מהזוויות הפנימיות שאינה צמודה לה. ההוכחה של משפט זה מבוססת על הנחה סמויה של אוקלידס ששני ישרים נפגשים בנקודה אחת בלבד.
במילים אחרות, המשפט המשלים לאקסיומת המקבילים נובע מארבע האקסיומות הראשונות של אוקלידס, בתוספת אקסיומה הקובעת ששני ישרים שאינם מקבילים נפגשים בנקודה אחת בלבד.
תכונות שקולות
בגאומטריה האוקלידית ידועות תכונות רבות השקולות לאקסיומת המקבילים. אם מניחים את ארבע ההנחות הראשונות, אז כל אחת מתכונות אלה נובעת מאקסיומת המקבילים, וגם גוררת אותה.
בין התכונות השקולות לאקסיומת המקבילים, יש כאלה שבמבט ראשון נראה כי אין להן שום קשר לתכונות של ישרים מקבילים. חלקן נחשבו כל-כך מובנות מאליהן, עד שהתפרסמו הוכחות של אקסיומת המקבילים, שהיו מבוססות בלי משים על תכונות כאלה, אף על פי שכולן כאחת אינן נובעות מארבע ההנחות הראשונות בגאומטריה האוקלידית. להלן כמה דוגמאות:
- סכום הזוויות במשולש הוא 180°.
- קיים משולש שסכום זוויותיו הוא 180°.
- סכום הזוויות זהה בכל המשולשים.
- קיים זוג משולשים דומים שאינם משולשים חופפים (Wallis, 1693).
- כל משולש ניתן לחסום במעגל (בוליי, 1851).
- אם במרובע שלוש זוויות הן זוויות ישרות, אז גם הזווית הרביעית היא זווית ישרה.
- קיים מרובע בו כל הזוויות הן זוויות ישרות.
- קיים זוג ישרים שנמצאים במרחק קבוע זה מזה.
- שני ישרים המקבילים לישר שלישי, מקבילים זה לזה.
- בהינתן שני ישרים מקבילים, ישר החותך את אחד מהם בהכרח חותך גם את השני.
- במשולש ישר-זווית, ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי שתי הצלעות הנותרות (משפט פיתגורס).
- אין חסם עליון לשטח של משולש[4] (גאוס, 1799).
למעשה, גם הניסוח המקובל של האקסיומה כיום הוא תכונה השקולה לניסוח הראשוני של אוקלידס. הניסוח המקובל הופיע לראשונה בפירושו של הפילוסוף והמתמטיקאי פרוקלוס לכתביו של אוקלידס. פרוקלוס, בן המאה ה-5, ניסה אף הוא להוכיח את האקסיומה על בסיס האקסיומות האחרות, וכשל בכך.
נסיונות להוכחה
במשך אלפיים שנה נעשו ניסיונות לייתר את האקסיומה, כלומר להוכיח שהיא נובעת מההנחות האחרות. ניסיונות אלו הביאו במאה ה-19 לפיתוח גאומטריות לא־אוקלידיות, שבהן האקסיומה אינה נכונה. קיומן של גאומטריות לא־אוקלידיות מוכיח שאקסיומת המקבילים היא אכן אקסיומה הכרחית – לא ניתן להוכיחה משאר ההנחות של אוקלידס.
פיתוח גאומטריות לא־אוקלידיות
המאמצים להוכחת האקסיומה עלו בתוהו, עד שבראשית המאה ה-19 הבינו בויאי, לובצ'בסקי וגאוס שנדרש כיוון שונה. כתוצאה מכך פותחו גאומטריות לא־אוקלידיות, שבהן אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה אחרת: בגאומטריה ההיפרבולית – דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים לישר זה, ובגאומטריה פרויקטיבית אין ישרים מקבילים כלל. באורח פלא התברר כעבור שנים לא רבות שהגאומטריות הלא־אוקלידיות אינן רק תרגיל ביסודות האקסיומטיים של הגאומטריה: כשם שהגאומטריה האוקלידית מהווה בסיס למכניקה של אייזק ניוטון, כך מהווה הגאומטריה הלא־אוקלידית המיושמת על יריעה פסאודו־רימנית בסיס לתורת היחסות הכללית.
ראו גם
לקריאה נוספת
- מריו ליביו, שפת הסימטריה - המשוואה שלא נמצא לה פתרון, הוצאת אריה ניר, 2006, עמ' 208-212
- בנו ארבל, קיצור תולדות המתמטיקה, הוצאת מכון מופ"ת, 2005, עמ' 121, 170
קישורים חיצוניים
- Roberto Bonola (1912) Non-Euclidean Geometry, Open Court, Chicago.
- MacTutor Archive article on non-Euclidean geometry
הערות שוליים
- ^ Euclid's Elements of geometry, the first six, the eleventh and twelfth books; tr from dr. Gregory's ed., with notes and additions. By E. Stone ספר ראשון עמ' 5
- ^ למשל: An Attempt to Demonstrate the 11th Axiom of Playfair's Euclid, (Warren Holden The American Mathematical Monthly Vol. 2, No. 5 (May, 1895), pp. 146-147)
- ^ Philosophy of Geometry from Riemann to Poincaré, עמ' 49
- ^ Euclid's Fifth Postulate, באתר Cut The Knot
