המילטוניאן

ההמילטוניאן (על שם המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון) הוא פונקציה חשובה מאד במכניקה אנליטית ובפיזיקה המודרנית – כולל במכניקה, באלקטרומגנטיות ובמכניקת הקוונטים. ההמילטוניאן הוא פונקציה המהווה אפיון שלם של מערכת פיזיקלית: באמצעות ההמילטוניאן וחוקי הפיזיקה אפשר לגזור את משוואות התנועה של המערכת הפיזיקלית המתוארת על ידי ההמילטוניאן. במילים אחרות, צורת ההמילטוניאן קובעת את התפתחות המערכת בזמן.

ברוב המקרים אפשר לתת להמילטוניאן הגדרה טכנית קולעת: זו האנרגיה של המערכת כאשר היא רשומה כפונקציה של המשתנים הקנוניים שלה.

מבוא אינטואיטיבי

ברוב המקרים המעניינים, ההמילטוניאן (מסומן H) הוא בעצם האנרגיה של מערכת פיזיקלית, כאשר היא רשומה כפונקציה של המשתנים הקנוניים של המערכת, דהיינו קואורדינטות מוכללות ומשתני התנע הצמודים־קנונית שלהן, למשל קואורדינטה של המיקום בציר X והתנע המתאים לה, $p_{x}$ (שבמקרה זה התנע המוכלל הוא התנע הקווי הרגיל $mv_{x}$), או כדוגמה אחרת, זווית הסיבוב $\phi$ סביב ציר Z, והתנע הצמוד לה $p_{\phi }$ שהוא בעצם התנע הזוויתי בציר Z, כלומר $p_{\phi }=mr{\dot {\phi }}$ . כלומר: ההמילטוניאן הוא ביטוי המתאר כיצד האנרגיה של גוף תלויה בתנע שלו ובמקום שלו. באמצעות ההמילטוניאן אפשר לאפיין מערכת בשלמות ואף לחשב כיצד היא תתקדם בזמן ומה יהיה מצבה בכל רגע ורגע.

דוגמה פשוטה: נניח גוף הנע תחת השפעת כוח מחזיר $F=-m\omega ^{2}x$ של מתנד הרמוני חד־ממדי.

האנרגיה הפוטנציאלית שלו היא $U={\tfrac {1}{2}}m(\omega x)^{2}$ .

האנרגיה הקינטית שלו היא $T={\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}$ כאשר $p=mv$ תנע החלקיק.

ההמילטוניאן יהיה $H(p,x)=T+U={\frac {p^{2}}{2m}}+{\tfrac {1}{2}}m(\omega x)^{2}$ .

ההמילטוניאן מתקבל כאשר רשמנו את האנרגיה כפונקציה של המקום (קואורדינטה קנונית) ושל התנע (תנע קנוני הצמוד למקום). באמצעות משוואות המילטון ניתן למצוא את הפונקציות $p(t),x(t)$ שיתארו את תנועתו האמיתית של הגוף – כלומר: מהו מיקומו ותנעו בכל רגע.

הגדרה קלאסית

ההגדרה הקנונית

ההמילטוניאן הוא למעשה התמרת לז'נדר של הלגראנז'יאן ונתון באופן הבא:

$H(q,p,t)=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q,{\dot {q}},t)$

כאשר $p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$ התנע הקנוני של $q_{i}$ .

אם האנרגיה הקינטית היא תבנית בילינארית של המהירויות אזי ההמילטוניאן שווה לאנרגיה של המערכת. למשל במימד אחד, במקרה שבו האנרגיה הקינטית היא פשוט $E_{k}={\tfrac {1}{2}}m({\dot {x}})^{2}$ ההמילטוניאן נראה כך:

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x)$

כאשר $V$ האנרגיה הפוטנציאלית או בקיצור "הפוטנציאל".

משוואות המילטון

כדי לגזור מ־H את משוואות התנועה יש לפתור את משוואות המילטון:

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},{\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$ , וכמו כן מתקיים ${\frac {dH}{dt}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}$

שמהם מקבלים את משוואות התנועה. צמד משוואות אלה שקול למשוואת אוילר-לגראנז'.

את משוואות המילטון ניתן להסיק באמצעות עקרון הפעולה המינימלית כאשר מבוצע על הפונקציונל הנקרא פעולה, שהוא בעל הצורה המיוחדת הבאה:

$S[q,p]=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q_{i},p_{i})\right]dt$

התפתחות המערכת בזמן

הצורה הפונקציונלית של ההמילטוניאן קובעת את ההתפתחות בזמן של הגדלים הפיזיקליים במערכת.

כדי לראות זאת נמצא את הנגזרת השלמה של גודל פיזיקלי כלשהו $U$ לפי הזמן:

$${\frac {dU}{dt}}={\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {\partial U}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial t}}+{\frac {\partial U}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial t}}={\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {\partial U}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial U}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}$$

בעזרת סוגרי פואסון נוכל לכתוב משוואה זו בקיצור:

${\frac {dU}{dt}}={\frac {\partial U}{\partial t}}+\{U,H\}$

משוואה זו משמשת למציאת קבועי תנועה של המערכת, כמו להכללה של המכניקה ההמילטונית אל המכניקה הקוונטית.

דוגמאות

• המילטוניאן של חלקיק חופשי הוא

$H={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}}{2m}}$

• כאשר החלקיק נמצא תחת השפעת פוטנציאל אלקטרומגנטי ההמילטוניאן הוא

$H={\frac {({\vec {p}}-e{\vec {A}})^{2}}{2m}}+e\varphi$

$A$ הפוטנציאל הווקטורי המגנטי, $\varphi$ הפוטנציאל החשמלי.

מכניקת הקוונטים

במכניקת הקוונטים ההמילטוניאן הוא אופרטור הרמיטי (ולכן מהווה גודל פיזיקלי מדיד) המייצג את האנרגיה של המערכת. להמילטוניאן תפקיד חשוב מאד במכניקת הקוונטים מלבד היותו אופרטור המודד אנרגיה. ההמילטוניאן הוא שקובע את התפתחות המצב הקוונטי של המערכת בזמן באמצעות משוואת שרדינגר:

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi \rangle =H|\psi \rangle$

פתרון משוואה זו (עבור המילטוניאן שאינו תלוי בזמן) הוא

$|\psi (t)\rangle =e^{-i{\frac {Ht}{\hbar }}}|\psi (0)\rangle$

ואומרים כי ההמילטוניאן הוא היוצר של התפתחות המערכת בזמן.

הדוגמה הפשוטה ביותר היא של מערכת עם חלקיק אחד. בבסיס המקום, אופרטור התנע מוצג ${\vec {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}$ . ההצגה של ההמילטוניאן בבסיס זה היא לפיכך

$H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {r}})$

ולכן משוואת שרדינגר היא

$i\hbar {\frac {\partial \psi (t,{\vec {r}})}{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (t,{\vec {r}})+V({\vec {r}})\psi (t,{\vec {r}})$

זוהי משוואה דיפרנציאלית חלקית שאפשר לפתור באמצעות הפרדת משתנים ותורת שטורם-ליוביל על ידי מציאת מצבים עצמיים של האנרגיה לחלק הבלתי תלוי בזמן.

ראו גם

• מכניקת הקוונטים
• מרחב הילברט