הסכם הסכימה של איינשטיין

הסכם הסכימה של איינשטיין הוא סימון מקוצר המשמש בחשבונות הכוללים אנליזה מתמטית ואלגברה של טנזורים. הסימון הומצא על ידי הפיזיקאי אלברט איינשטיין בשנת 1916.

הקדמה

בפיזיקה, טנזור הוא עצם שיש בו מספר ערכים, והם עשויים להשתנות תחת הפעלת טרנספורמציה – אך תכונות מסוימות שלו צפויות להישמר, בעזרת כללים מסוימים שהוא מציית להם. הטנזור מאופיין בערכי רכיביו ובדרגה שלו: נוח לחשוב על דרגתו של טנזור כעל מספר האינדקסים החופשיים שלו. למשל: את הווקטור ${\vec {v}}=\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)$ במרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{3}$ ניתן לכתוב בצורה $v^{\mu }$, והאינדקס $\mu$ מקבל את הערכים $\mu =x,y,z$ או $\mu =1,2,3$. הביטוי $v^{\mu }$ מייצג את הווקטור כקבוצה, וכדי לקבל את רכיבי הווקטור יש להציב ערכים באינדקס. למשל, בהצבת $\mu =2$, יתקבל $v^{2}=v_{y}$. אינדקס כזה נקרא "אינדקס חופשי".

לטנזור יכולים להיות שני סוגי אינדקסים: אינדקסים עליונים ("קונטרה־ואריאנטיים", למשל: $A^{\mu }$) ואינדקסים תחתונים ("קו־ואריאנטיים", למשל: $A_{\mu }$). אינדקס תחתון מוגדר באמצעות המטריקה $\ g_{\lambda \rho }$ של המרחב שבו שוכן הטנזור:

$$a_{\lambda }=\sum _{\rho }g_{\lambda \rho }a^{\rho }$$

לטנזור מסוים יכולים להיות בו זמנית אינדקסים משני הסוגים גם יחד. למשל, לטנזור $A_{\sigma }^{\mu \nu }$ יש שני אינדקסים קונטרה־ואריאנטיים ואינדקס אחד קו־ואריאנטי.

הסכם הסכימה

לפי הסכם הסכימה, כאשר מופיע בביטוי טנזורי אותו אינדקס פעמיים – פעם אחת למעלה ופעם אחת למטה – האינדקס קשור (אינו חופשי), ויש לסכום את הביטוי על כל הערכים האפשריים שלו. למשל:

$$a^{\lambda }b_{\lambda }\equiv \sum _{\lambda }{a^{\lambda }b_{\lambda }}$$

כאשר הסכום רץ על כל הערכים האפשריים שהאינדקס יכול לקבל.

לחלופין, בעזרת הגדרת הווקטור הקו־וריאנטי, ניתן לכתוב:

$$a^{\mu }b_{\mu }\equiv a^{\mu }\sum _{\nu }g_{\nu \mu }b^{\nu }\equiv \sum _{\mu ,\nu }g_{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu }$$

עבור מרחב אוקלידי שטוח, המטריקה שווה למטריצת היחידה: $g_{ij}=\delta _{ij}=\delta _{j}^{i}$ (הסימן $\delta _{ij}$ הוא הדלתא של קרונקר), ולכן בפועל אין הבדל בין אינדקסים עליונים לאינדקסים תחתונים. במרחבים טנזוריים כלליים אין זה נכון, ויש להקפיד על מיקומו של האינדקס. לדוגמה, בתורת היחסות הפרטית, שבה המטריקה היא $g=\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)$, תוצאת סכימה יכולה להיות:

$$a^{\mu }b_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}{a^{\mu }b_{\mu }}=a^{0}b_{0}+a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}=a^{0}b^{0}-\left(a^{1}b^{1}+a^{2}b^{2}+a^{3}b^{3}\right)$$

ראו גם

• טנזור
• חשבון טנזורים
• אלגברה לינארית
• תורת היחסות הכללית