התפלגות אחידה

התפלגות אחידה (רציפה)

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$a,b\in (-\infty ,\infty )$ (יכול להיות גם איחוד של מספר קטעים)
תומך	$x\in (a,b)$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$f(x)dx={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&x\in (a,b)\\0,&{\mbox{otherwise }}\end{cases}}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$\ F_{X}(x)={\begin{cases}0,&x\leq a\\{\frac {x-a}{b-a}},&a\leq x\leq b\\1,&b\leq x\end{cases}}$
תוחלת	${\frac {a+b}{2}}$
סטיית תקן	${\frac {b-a}{\sqrt {12}}}$
חציון	${\frac {a+b}{2}}$
ערך שכיח	${\frac {a+b}{2}}$
שונות	${\frac {(b-a)^{2}}{12}}$
אנטרופיה	$\ \ln(b-a)$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	${\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}$
צידוד	$\ 0$
גבנוניות	$-{\frac {6}{5}}$

התפלגות אחידה (באנגלית: Uniform distribution) היא התפלגות בדידה שבה לכל האיברים בקבוצה סופית הסתברות שווה, או התפלגות רציפה בה לכל הקטעים בעלי אותו אורך, והנמצאים בתומך שלה, הם בעלי הסתברות שווה.

ישנם שני טיפוסים של התפלגויות אחידות:

1. התפלגות אחידה בדידה (באנגלית: Discrete) היא התפלגות המניבה מספר סופי של ערכים אפשריים, שכולם שווי הסתברות. כך לדוגמה מתפלגת התוצאה של הטלת מטבע הוגן, הטלת קוביה הוגנת, סיבוב רולטה או שליפה מחפיסת קלפים שנטרפה היטב. כמו כן, ניתן להשתמש במדידות של מצבים קוונטיים כדי לייצר משתנים מקריים אחידים. אולם כל אלה הם מכשירים פיזיים או מכניים, הסובלים מפגמים והפרעות, כך שההתפלגות האחידה היא רק קירוב של התנהגותם. במחשבים ספרתיים, סדרות פסאודו אקראיות משמשות ליצירת התפלגות בדידה אחידה אקראית מבחינה סטטיסטית.
2. בהתפלגות אחידה רציפה (באנגלית: Continuous) המשתנה המקרי $\ X$ מקבל ערכים בקטע $\ [a,b]$ כאשר פונקציית ההסתברות המצטברת היא $\ F_{X}\left(x\right)={\frac {x-a}{b-a}}$. כלומר, ההסתברות של כל קטע היא האורך היחסי שלו בתוך [a,b], ופונקציית צפיפות ההסתברות קבועה ושווה ל- $\ {\frac {1}{b-a}}$. במקרה זה מסמנים $\ X\sim U\left(a,b\right)$.

שימושים

בסטטיסטיקה, כשמשתמשים ב-p-value כמבחן סטטיסטי להשערת אפס פשוטה, וההתפלגות של המבחן הסטטיסטי רציפה, אז

p-value מתפלג אחיד בין 0 ל-1 כאשר השערת האפס נכונה.

לשפות תכנות רבות יש את היכולת לייצר מספרים פסאודו-אקראיים שמתפלגים אחיד לפי התפלגות אחידה סטנדרטית. אם u הוא ערך שנדגם מהתפלגות אחידה סטנדרטית, אז הערך a+(b-a)u מתפלג אחיד עם הפרמטרים a ו-b כמתואר לעיל.

בהיבט התאורטי הרבה מאלגוריתמי מונטה קרלו משתמשים בדגימה מההתפלגות הזו (בין 0 ל-1) כדי לייצר דגימות רנדומליות מהתפלגויות אחרות. מצד שני, יש מעטי תהליכים שיש להם את הצורה הזו של אי וודאות, לדוגמה: המיקום הספציפי של מולקולת אוויר בחדר, הנק' בגלגל המכונית כשהתקר הבא יתרחש ומספר השניות שעברו בדקה בזמן הנוכחי.

התפלגות אחידה סטנדרטית

הגבלת הפרמטרים $a=0$ $b=1$, נקראת התפלגות אחידה סטנדרטית ומסומנת $\ X\sim U\left(0,1\right)$ . מאפיין של התפלגות זאת הוא שאם $\ X\sim U\left(0,1\right)$ אז גם $\ 1-X\sim U\left(0,1\right)$ .

ניתן להשתמש בהתפלגות אחידה סטנדרטית על מנת ליצור משתנים רנדומלים דרך הצבת ערכים אלו בפונקציית ההתפלגות המצטברת של משתנה מקרי אותו רוצים ליצור בסימולציה.

קישורים חיצוניים

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.