התפלגות ברנולי
התפלגות ברנולי היא מונח מתחומי סטטיסטיקה ותורת ההסתברות, הקרוי על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי, המתאר התפלגות בדידה של משתנה מקרי המקבל ערך או ערך בהסתברות ו-. מקרה פרטי של התפלגות זו מתאים לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים – הצלחה או כישלון. במקרה זה מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב- (כלומר: ).
למשל, בהטלת קובייה תקינה תסומן התוצאה כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון. ההסתברות לנפילה על בקובייה תקינה היא, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא . בדוגמה זו המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר .
את העובדה שלמשתנה מקרי יש התפלגות ברנולי מסמנים (לעיתים ). והשונות שלו היא . משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה לכל (שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ולכן כל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־.
משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית. סכום של משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, (ובפרט ההתפלגות היא התפלגות ברנולי).
תכונות
אם הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי:
פונקציית הסתברות של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא:
צורה שקולה לביטוי זה היא:
או:
בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור .
גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של . עבור ערכי ההתפלגות יוצרת משפחה מעריכית ואומד הנראות המרבית של עבור מדגם מקרי הוא ממוצע הדגימה.
תוחלת
התוחלת של משתנה מקרי המתפלג ברנולי היא:
זאת משום שעבור בו יחד עם מתקבל:
שונות
השונות של משתנה מקרי המתפלג ברנולי היא:
הוכחה
ראשית,
ומכאן:
כמובטח.
קישורים חיצוניים
מיזמי קרן ויקימדיה |
---|
ספר לימוד בוויקיספר: הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים בדידים/התפלגות ברנולי |
- התפלגות ברנולי, באתר MathWorld (באנגלית) המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.
התפלגויות | ||
---|---|---|
התפלגויות בדידות כלליות | אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון | |
התפלגויות רציפות כלליות | אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע | |
התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית | בולצמן • בוז-איינשטיין • מקסוול-בולצמן • פרמי-דיראק • זטא | |
התפלגויות נוספות | התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית | |
סוגי התפלגויות | בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת |