מטריצה הפיכה

באלגברה לינארית, מטריצה ריבועית תיקרא הפיכה אם קיימת מטריצה ריבועית אחרת, כך שמכפלתן היא מטריצת היחידה. שמות נוספים למטריצה הפיכה הם מטריצה רגולרית ומטריצה לא סינגולרית.

הגדרה פורמלית

תהי $\ A$ מטריצה מסדר $\ n\times n$. המטריצה תיקרא "הפיכה" אם קיימת מטריצה אחרת, שתסומן $\ A^{-1}$ ותיקרא המטריצה ההופכית של $\ A$, כך שמתקיים $\ AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}$, כאשר $\ I_{n}$ היא מטריצת היחידה מסדר $\ n\times n$, בפעולת כפל מטריצות סטנדרטי.

מטריצה שאינה הפיכה תיקרא סינגולרית (או לא הפיכה).

דוגמאות

מטריצות הפיכות

לפי ההגדרה, כדי להראות שמטריצה מסוימת היא הפיכה, מספיק למצוא מטריצה נוספת כך שמכפלתן היא מטריצה היחידה. לכן, דוגמה טריוויאלית למטריצה לא סינגולרית היא מטריצת היחידה עצמה, $\ I_{n}$ .

דוגמה נוספת היא המטריצה:

$\ A={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ מטריצה זו הפוכה לעצמה: $\ A^{2}=I_{2}$.

מטריצות לא הפיכות

מטריצת האפס היא לא הפיכה, כי תוצאת המכפלה של כל מטריצה עם מטריצת האפס היא שוב מטריצת האפס, ואף פעם לא $\ I_{n}$.

גם המטריצה הבאה היא לא הפיכה:

$\ A={\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}}$

ניתן לראות זאת על ידי המכפלה הבאה:

${\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\end{bmatrix}}A={\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}$

אם הייתה מטריצה $\ B$ כך שהיה מתקיים $\ AB=I_{n}$ אז היה אפשר להכפיל את השוויון מימין באותה מטריצה ולקבל מצד אחד:

${\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\end{bmatrix}}(AB)={\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\end{bmatrix}}I_{n}={\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\end{bmatrix}}$

ומצד שני, מתכונת האסוציאטיביות של כפל מטריצות, ביטוי זה שקול ל:

$\left({\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\end{bmatrix}}A\right)B={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}B={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}$

וזו כמובן סתירה. למעשה, זוהי תכונה כללית של כפל בחוגים - אם איבר מסוים הוא מחלק אפס אז הוא לא יכול להיות הפיך. בחוג המטריצות תכונה זו אפילו חזקה יותר- מטריצה היא סינגולרית אם ורק אם היא מחלקת אפס.

שיטות למציאת המטריצה ההפכית

את המטריצה ההופכית של מטריצה הפיכה מסדר 2 ניתן להציג באופן כללי על ידי הנוסחה הבאה:

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,$ $A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}\ d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}\,\ ,$

זהו מקרה פרטי של הנוסחה הנכונה לכל מטריצה:

$\ A\cdot \mathrm {adj} (A)=\det A\cdot I$

כאשר $\ {\mbox{adj}}(A)$ היא המטריצה המצורפת ל-$\ A$ ו-$\ I$ היא מטריצת היחידה. כאשר הדטרמיננטה אינה אפס מתקבל מהנוסחה, על ידי העברת אגפים, שהמטריצה ההופכית היא המטריצה המצורפת חלקי הדטרמיננטה.

דרך נוספת למציאת מטריצה הפיכה היא לשרשר את מטריצת $\ I$ מימין למטריצה $\ A$ ולמצוא קומבינציה לינארית של השורות אשר תניב את המטריצה $\ I|A^{-1}$.

לדוגמה את המטריצה

$A={\begin{bmatrix}1&-1&-2\\2&-3&-5\\-1&3&5\end{bmatrix}}$

נרשום את המטריצה:

$A:I=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&-2&1&0&0\\2&-3&-5&0&1&0\\-1&3&5&0&0&1\end{array}}\right]$

ונדרגה:

$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&-2&1&0&0\\0&-1&-1&-2&1&0\\0&2&3&1&0&1\end{array}}\right]$

$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&-2&1&0&0\\0&1&1&2&-1&0\\0&2&3&1&0&1\end{array}}\right]$ $\ \$

$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-1&3&-1&0\\0&1&1&2&-1&0\\0&0&1&-3&2&1\end{array}}\right]$ $\ \$

$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&0&1&1\\0&1&0&5&-3&-1\\0&0&1&-3&2&1\end{array}}\right]$

ולכן

$A^{-1}={\begin{bmatrix}0&1&1\\5&-3&-1\\-3&2&1\end{bmatrix}}$ $\ \$

יש להדגיש כי לא כל המטריצות הפיכות ואפשר לראות זאת באמצעות השיטה הזו. למשל

$A={\begin{bmatrix}1&1&5\\1&2&7\\2&-1&4\end{bmatrix}}$ $\ \$

נרשום:

$A:I=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&1&5&1&0&0\\1&2&7&0&1&0\\2&-1&4&0&0&1\end{array}}\right]$

ונדרג

$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&1&5&1&0&0\\0&1&2&-1&1&0\\0&-3&-6&-2&0&1\end{array}}\right]$ $\ \$

$\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&3&2&-1&0\\0&1&2&-1&1&0\\0&0&0&-5&3&1\end{array}}\right]$ $\ \$

המטריצה האחרונה אליה הגענו אינה ניתנת להפיכה למטריצה מן הסוג $\ I:A^{-1}$ ועל כן המטריצה $\ A$ היא בלתי הפיכה.

הוכחה לשיטת הבלוקים: נשים לב שביצוע סדרת פעולות על שורות מטריצה (דירוג מטריצות) שקול לכפל במטריצה הפיכה B. מאחר שמבצעים את אותן פעולות על A ו-I מקבלים: $BA:BI$ אבל אם מגיעים ל-$BA=I$ הרי ש-$B=A^{-1}$ וזו בדיוק המטריצה המתקבלת בבלוק הימני (כלומר: $I:B=I:A^{-1}$).‏ $\square$

תכונות

תנאים שקולים להפיכות

תהא $\ A$ מטריצה מסדר $\ n\times n$. כל התנאים הבאים שקולים, כלומר אם אחד מתקיים, כולם מתקיימים:

• $\ A$ היא מטריצה הפיכה.
• קיימת מטריצה $\ B$ כך ש$\ BA=I$. (כלומר, $\ A$ הפיכה משמאל)
• קיימת מטריצה $\ B$ כך ש$\ AB=I$. (כלומר, $\ A$ הפיכה מימין)
• $\ A$ אינה מחלק אפס בחוג המטריצות הריבועיות. (כלומר, לכל מטריצה $\ B\neq 0$, מתקיים $\ AB,BA\neq 0$)
• $\ \det(A)\neq 0$ (כלומר, דטרמיננטת המטריצה שונה מ-0).
• $\ {\mbox{rank}}(A)=n$ (כלומר, דרגת המטריצה שווה ל-$\,n$).
• $\ A$ שקולת שורות ל-$\ I_{n}$ (כלומר, ניתן להגיע מ$\ A$ אל $\ I_{n}$ באמצעות פעולות אלמנטריות).
• למערכת המשוואות הלינאריות $\ Ax=0$ קיים רק הפתרון הטריוויאלי, כלומר $\ x=0\Leftarrow Ax=0$ (בניסוח אחר: מרחב הפתרונות מנוון).
• למערכת המשוואות הלינאריות $\ Ax=b$ קיים פתרון לכל וקטור עמודה $\,b$ מסדר $\,n$ (פתרון זה יהיה יחיד).
• עמודות המטריצה הן בלתי תלויות לינארית.
• שורות המטריצה הן בלתי תלויות לינארית.
• 0 אינו ערך עצמי של המטריצה.
• ההעתקה הלינארית $\ T(x)=Ax$ מעבירה בסיס לבסיס.
• ההעתקה הלינארית $\ T(x)=Ax$ היא חד חד ערכית כלומר הגרעין טריוויאלי < Ker(A) =< 0.
• ההעתקה הלינארית $\ T(x)=Ax$ היא על.
• ממד מרחב השורות של A הוא n.
• ממד מרחב העמודות של A הוא n.
• $A$ מאפסת פולינום עם מקדם חופשי שונה מ-0.

תכונות אלגבריות

יהיו A ו-B מטריצות הפיכות.

• $(A^{-1})^{-1}=A$
• $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$ כאשר T מציין את לקיחת המטריצה המשוחלפת
• לכל סקלר $k\neq 0$ מתקיים $(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$
• $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
• $\det(A^{-1})=(\det A)^{-1}$ (דטרמיננטה)
• אם $A(t)$ מטריצה הפיכה גזירה לכל $t\in J$ (זוהי מטריצה התלויה בפרמטר t) אזי ${\frac {dA^{-1}}{dt}}=-A^{-1}{\frac {dA}{dt}}A^{-1}$
• אם $\epsilon$ מספר קטן, אזי $(A+\epsilon X)^{-1}=A^{-1}-\epsilon A^{-1}XA^{-1}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})$

קבוצת המטריצות ההפיכות

לפי מה שכתוב לעיל, ניתן להציג את קבוצת כל המטריצות ההפיכות כקבוצת המטריצות שהדטרמיננטה שלהן לא מתאפסת:

$\ \mathbf {GL} _{n}(F)=\left\{A\in F^{n\times n}|\ \ \det \ A\neq 0\right\}$

מתכונות הכפליות של הדטרמיננטה (דטרמיננטה של מכפלה היא מכפלת הדטרמיננטות), או משיקולים כללים לגבי הפיכות בחוגים, מכפלת שתי מטריצות הפיכות היא מטריצה הפיכה - כלומר קבוצה זו סגורה תחת כפל. לעומת זאת, חיבור וחיסור מטריצות הפיכות לא יניב בהכרח מטריצה הפיכה. מסמנים את קבוצת כל המטריצות ההפיכות $\ \mathbf {GL} _{n}(F)$ והיא נקראת החבורה הלינארית הכללית מעל השדה $\ F$ (ביחס לכפל מטריצות). קבוצה זו היא אכן חבורה, לא קומוטטיבית, עם פעולת כפל מטריצות.

מבחינה טופולוגית קבוצה זו היא קבוצה פתוחה, כיוון שהיא מתקבלת כהעתקה ההפוכה של פונקציית הדטרמיננטה (שהיא פונקציה רציפה), של הקבוצה הפתוחה $\ F-\left\{0\right\}$. קבוצה זו צפופה במרחב המטריצות. בגאומטריה דיפרנציאלית, קבוצה זו היא יריעה חלקה, ואף אנליטית מממד $\ n^{2}$ כאשר $F=\mathbb {R}$ או $F=\mathbb {C}$. בנוסף, יחד עם פעולת כפל מטריצות, קבוצה זו מהווה חבורת לי.

הכללות

הפיכוּת מצד אחד

מטריצה $A$ נקראת הפיכה משמאל אם קיימת מטריצה $P$ כך ש $PA=I$. ההופכית השמאלית $P$ אינה נקבעת ביחידות אם $A$ אינה ריבועית.

בדומה, מטריצה $A$ נקראת הפיכה מימין אם קיימת מטריצה $Q$ כך ש $AQ=I$.

מטריצה שהפיכה גם מימין וגם משמאל היא מטריצה הפיכה, ובפרט היא ריבועית. מטריצה שהפיכה רק מצד אחד אינה ריבועית.

הפכי מור-פנרוז

מושג המטריצה ההופכית הוכלל על ידי אליקים מור ורוג'ר פנרוז עבור מטריצות כלשהן; ראו (Moore–Penrose pseudoinverse).

$F^{-1}=(F^{H}F)^{-1}F^{H}$

ראו גם

• נוסחת וודרבי

קישורים חיצוניים

• מחשבון היפוך מטריצות