מטריצה סימטרית

מטריצה סימטרית

באלגברה לינארית, מטריצה סימטרית היא מטריצה ריבועית A, הנשמרת תחת פעולת השחלוף, כלומר, מתקיים $\ A^{t}=A$. אם $A=[a_{ij}]_{i,j=1}^{n}$ אזי $A^{t}=[a_{ji}]_{i,j=1}^{n}$ ותנאי הסימטריות למעשה אומר $\forall 1\leq i,j\leq n:a_{ij}=a_{ji}$.

ציר הסימטריה הוא האלכסון הראשי כך שהאיברים הנמצאים מעליו שווים לאיברים המשתקפים מתחתיו (תמונת מראה ). לדוגמה:

$A=\left[{\begin{matrix}1&3\\3&0\end{matrix}}\right]=A^{t}$

היא מטריצה סימטרית.

אוסף המטריצות הסימטריות מסדר n הוא מרחב וקטורי. בדומה לכך שכל מטריצה נורמלית מעל שדה המספרים המרוכבים ניתנת ללכסון אוניטרי, המטריצות הסימטריות הממשיות ניתנות ללכסון אורתוגונלי. למטריצות סימטריות ממשיות יש ערכים עצמיים ממשיים, והן ניתנות ללכסון אורתוגונלי אפילו מעל שדה המספרים הממשיים.

מטריצה אנטי־סימטרית

מטריצה A המקיימת $\ A^{t}=-A$ היא מטריצה אנטי־סימטרית. כאשר שדה הבסיס בעל מאפיין שונה מ-2, כל האיברים באלכסון הראשי של מטריצה אנטי-סימטרית שווים לאפס. בנוסף לזה, מרחב המטריצות מתפרק לסכום ישר של מרחב המטריצות הסימטריות ומרחב המטריצות האנטי-סימטריות, ונוסחת הממדים היא $\ n^{2}={\frac {n^{2}+n}{2}}+{\frac {n^{2}-n}{2}}$.

הדטרמיננטה של מטריצה אנטי-סימטרית מסדר אי-זוגי (במאפיין שונה מ-2) היא אפס. עבור מטריצות אנטי-סימטריות מסדר זוגי, הדטרמיננטה היא ריבוע של הפפיאן.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.