מטריצת מעבר

באלגברה לינארית, מטריצת מעבר בין בסיסים של אותו מרחב וקטורי מממד סופי, היא מטריצה ריבועית שהכפל בה מתרגם וקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הראשון לוקטורי קואורדינטות לפי הבסיס השני.

יהיו B ו-C בסיסים סדורים למרחב הווקטורי V. מטריצת המעבר מ-B ל-C‏, $\ M_{C}^{B}$, היא המטריצה היחידה המקיימת את השוויון

$\ M_{C}^{B}[v]_{B}=[v]_{C}$

לכל וקטור $\ v\in V$, כאשר $\ [v]_{B},[v]_{C}$ הם וקטורי הקואורדינטות לפי הבסיסים B,C, בהתאמה. מן ההגדרה הזו נובעות כמה זהויות שימושיות: $\ M_{B}^{B}=I$; לכל שלושה בסיסים $\ B,C,D$ מתקיים $\ M_{D}^{C}M_{C}^{B}=M_{D}^{B}$; ובפרט $\ M_{B}^{C}=(M_{C}^{B})^{-1}$.

מטריצת המעבר היא למעשה המטריצה המייצגת של העתקת הזהות ביחס לשני הבסיסים.

את מטריצת המעבר אפשר לבנות על ידי חישוב של וקטורי קואורדינטות: העמודה ה-i שלה היא וקטור הקואורדינטות של האיבר ה-i בבסיס B, לפי הבסיס C. כלומר:

$(M_{C}^{B})_{\downarrow i}=[b_{i}]_{C}$

את מטריצת המעבר בין שני בסיסים B ו-C כלשהם ב-$F^{n}$ נוח לחשב דרך הבסיס הסטנדרטי E. הקואורדינטות של וקטור $b_{i}\in B$ לפי E הם פשוט רכיבי $b_{i}$ מסודרים בעמודה. לכן זה מיידי לחשב את $M_{E}^{B}=(...|[b_{i}]_{E}|...)$. באותו אופן $M_{E}^{C}=(...|[c_{i}]_{E}|...)$ מתכונת ההפכיות מקבלים ש-$M_{C}^{E}=(M_{E}^{C})^{-1}$ ולחישוב ההפכית יש אלגוריתם טכני וברור באמצעות דירוג מטריצות. לבסוף, מתכונת הכפליות מקבלים $M_{C}^{B}=M_{C}^{E}M_{E}^{B}=(M_{E}^{C})^{-1}\cdot M_{E}^{B}$. את כל המטריצות בביטוי זה קל לחשב באמצעות פעולות טכניות ופשוטות.

הגדרה וסימון מקובלים למטריצת המעבר הם כדלהלן: מטריצת המעבר מבסיס B לבסיס C תסומן $[I]_{C}^{B}$ והיא המטריצה ההפיכה היחידה שמקיימת:

$\forall {\vec {v}}\in V:\qquad [{\vec {v}}]_{C}=[I]_{C}^{B}[{\vec {v}}]_{B}$

וניתן לחשבה באופן הבא: עמודות המטריצה הן וקטורי הקואורדינטות של וקטורי הבסיס B לפי הבסיס C. בפרט:

$[I]_{C}^{B}=\left[[{\vec {b}}_{1}]_{C}\ |\ \cdots \ |\ [{\vec {b}}_{n}]_{C}\right]$

בפרט היא מקיימת: קיום הזהות $[I]_{B}^{B}=I_{n}$, כפליות: $[I]_{D}^{B}=[I]_{D}^{C}[I]_{C}^{B}$ והפיכות $[I]_{B}^{C}=([I]_{C}^{B})^{-1}$.

כל מטריצת מעבר היא מטריצה הפיכה, ולהיפך: כל מטריצה הפיכה היא מטריצת מעבר מהבסיס B לבסיס כלשהו, ומבסיס כלשהו לבסיס C. במלים אחרות, חבורת המטריצות ההפיכות פועלת באופן טרנזיטיבי על אוסף הבסיסים של המרחב.

כשמוגדרת על המרחב מכפלה פנימית, מטריצת המעבר בין שני בסיסים אורתונורמליים היא מטריצה אורתוגונלית, ולהיפך: אם B,C בסיסים אורתונורמליים נתונים, אז כל מטריצה אורתוגונלית היא מטריצת מעבר מ-B לבסיס אורתונורמלי כלשהו, ומבסיס אורתונורמלי כלשהו אל C. כמקודם, חבורת המטריצות האורתוגונליות פועלת באופן טרנזיטיבי על אוסף הבסיסים האורתונורמליים של המרחב.