מכניקה אנליטית

פרק זה טעון עריכה. אנא תרמו למכלול ועזרו לערוך אותו.

מכניקה אנליטית היא תורה שפיתחו ז'וזף לואי לגראנז', ויליאם רואן המילטון וקרל גוסטב יעקב יעקבי במאה ה-18 וה-19. תורה זו היא ניסוח פורמליסטי חלופי ושקול למכניקה הקלאסית (ה"ניוטונית").

בעוד שהמכניקה הניוטונית עושה שימוש בכוחות הווקטוריים לצורך ניתוח הבעיה הפיזיקלית, מכניקה אנליטית עושה שימוש באנרגיה הפוטנציאלית והקינטית לשם כך.

פורמליזם הלגרנז'יאן אשר פיתח לגרנז' עושה שימוש בקוארדינטות מוכללות ובכוחות מוכללים ומאפשר פתרון בעיות פיזיקליות שבמכניקה הניוטונית נחשבות קשות. אחת הדוגמאות לבעיות כאלו היא בעיות של תנועה תחת אילוצים: תנועה לאורך ישר נתון, תנועה מוגבלת למישור, ועוד. הפורמליזם הלגרנז'יאני מציג את הבעיה הפיזיקלית כסט של משוואות דיפרנציאליות מסדר שני, הנקראות משוואות אוילר לגראנז'.

הפורמליזם ההמילטוני מגדיר את המילטוניאן ואת הבעיה הפיזיקלית כסט של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון במרחב הפאזה. הפורמליזם ההמילטוני כקודמו הלגרנז'יאני אינו מכיל תוכן פיזיקלי חדש ואף לא תורם לפתרון פשוט יותר של בעיות פיזיקליות. כוחו של הפורמליזם הוא במציאת אינטואיציות פיזיקליות חדשות ואף שימש להכללה של הפיזיקה הקלאסית אל הפיזיקה הקוונטית.

פורמליזם המילטון ג'ייקובי מתבסס על הפורמליזם ההמילטוני ומציג את הבעיה כמשוואה דיפרנציאלית חלקית. לפורמליזם זה דמיון רב למכניקת הקוונטים ומהווה בסיס לפורמליזם של אינטגרלי מסלול במכניקה קוונטית שהומצא על ידי ריצ'רד פיינמן.

עקרונות המכניקה האנליטית

עקרון הפעולה המינימלית

במכניקה הקלאסית תנועת גופים מתוארת על ידי משוואות תנועה בהם התאוצה של כל גוף בכל רגע נתון נתונה על פי מיקומיהם ומהירויותיהם של הגופים, בהתאם לכוחות הפועלים עליהם (חוקי ניוטון). מכאן שבהינתן מצב מסוים והכוחות הפועלים ניתן לחשב את מצב המערכת בכל רגע עתידי.

הפורמליזם של המכניקה אנליטית מכליל את משוואות התנועה תוך שימוש בגישה שונה. הנחת היסוד היא עקרון הפעולה המזערית, הקובע שהאינטגרל של הלגראנז'יאן בזמן יהיה סטציונרי. כלומר, המסלול בו נעה המערכת הוא זה עבורו שינוי קטן מספיק במסלול, לא יגרור שינוי בפעולה. במקרים רבים מדובר במסלול עבורו הפעולה מינימלית. עבור תנועת קרני אור, לדוגמה, העיקרון מיתרגם לעיקרון הזמן המינימלי: מסלול האור בין שתי נקודות היא תמיד זה עבורו זמן המעבר הכולל הוא מינימלי (באופטיקה גאומטרית, מיתרגמת עובדה זו לחוק סנל).

קוארדינטות מוכללות

במסגרת המכניקה האנליטית מתארים את הבעיה לא בהסתכלות על הגוף הנע, אלא בהגדרת קואורדינטות מוכללות $\ q_{i}$ מתאימות לבעיה, וזיהוי משתני התנע הצמודים אליהן, $\ p_{i}$. ככל שישנם יותר אילוצים בבעיה, כך מצטמצם מספר הקואורדינטות הנדרש כדי לתאר אותה. כך, למשל, גוף הנע במישור דורש שתי קואורדינטות לעומת שלוש קואורדינטות במרחב תלת-ממדי. באופן דומה, את תנועתה של רכבת הרים בלונה פארק, למרות היותה במרחב תלת-ממדי, ניתן לתאר בעזרת קואורדינטה בודדת, שהיא לדוגמה המרחק שהרכבת עברה על המסילה עצמה.

בשלב הבא, מציבים את הקואורדינטות והתנאים לקבלת ביטוי לאופרטורים - פעולות מתמטיות על פונקציות של הזמן. שני המרכזיים שבהם הם הלגראנז'יאן $\ L$, שהוא ההפרש בין האנרגיה הקינטית $\ T$ לפוטנציאלית $\ U$,

$\ L=T-U$

וההמילטוניאן, שהוא טרנספורם לז'נדר של הלגראנז'יאן ומהווה אופרטור שבמקרה של אנרגיה קינטית הוא פונקציה הומוגנית מסדר שני של מהירויות, מבטא את האנרגיה הכללית של המערכת שבה עוסקת הבעיה, בניסוח מתמטי:

$H=\sum _{i}^{}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L$.

אופרטור נוסף, הרותיאן, מאופיין בנוסחה דומה להמילטוניאן, אך מבוטא בעזרת מונחים של קואורדינטות, מהירויות ותנעים מוכללים, בניגוד להמילטוניאן המבוטא בעזרת תנע וקואורדינטות בלבד.

להזנת האופרטורים במידע אודות הקואורדינטות והזמן מצטרפים אילוצי הבעיה, שמגדירים דרישות נוספות מהפתרון. כך, למשל, הפעלת אינטגרל לפי הזמן על הלגראנז'יאן, תיתן את הפעולה הבאה: $S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{L(x,{\dot {x}},t)\ dt}$. על ידי דרישה פיזיקלית שלפיה הפעולה שתתקיים היא זו שתביא את $\ S$ לערך קיצון (מרבית או (בדרך כלל) מזערית) מתקבלות משוואות אוילר-לגראנז'

$\ {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0$

השקולות לאלה המוכרות מהמכניקה הניוטונית. משוואות נוספות השקולות למשוואות אלה הן משוואות המילטון ומשוואת המילטון-יעקובי.

קבלת משוואות התנועה

על ידי בחירה נכונה של הלגרנג'יאן ניתן לקבל את משוואות ניוטון בצורת משוואות אוילר-לגראנז'.

$\ L=T-U={\frac {1}{2}}mv^{2}-U(x)={\frac {1}{2}}m({\dot {x}})^{2}-U(x)$

ואז

$\ {\frac {\partial L}{\partial x}}=-{\frac {\partial U}{\partial x}}=-U'(x)=F$

$\ {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {d}{dt}}(m{\dot {x}})=m{\ddot {x}}=ma$

ומקבלים בסך הכל

$\ ma=m{\ddot {x}}=-U'(x)=F$

כאשר a היא התאוצה (נגזרת שנייה של המקום) ו-F הוא הכוח שמושרה מהגרדיאנט של אנרגיה פוטנציאלית.

התפתחויות נוספות

על סמך העקרונות המתוארים לעיל פותחו שיטות רבות, ביניהן מכניקה המילטונית, משוואת המילטון-יעקובי, וטרנספורמציות קנוניות, שמהותן חיזוק הכלים לפתרון בעיות מכניות. ישנן התפתחויות עקרוניות לתורה כגון תורת ההפרעות המאפשרת לדון במערכות שיש בהן איבוד אנרגיה (דיסיפציה, לדוגמה) וכאוס ודנה במערכות עם משוואות לא לינאריות.

בשנת 1918 ניסחה המתמטיקאית אמי נתר את "משפט נתר" והוכיחה אותו. המשפט קושר בין סימטריות של מערכת פיזיקלית וחוקי שימור שהיא מקיימת, וקובע כי עבור כל סימטריה רציפה (וגזירה) של הפעולה, קיים גודל שמור. כך למשל, חוק שימור האנרגיה נובע מסימטריה להזזה בזמן, חוק שימור התנע נובע מסימטריה להזזה מרחבית וחוק שימור המטען החשמלי נובע מסימטריית כיול. למשפט נתר חשיבות גדולה במכניקה אנליטית בפרט ובפיזיקה תאורטית ככלל.

למכניקה האנליטית יישומים רבים בתחומים שונים של הפיזיקה, אך היא כושלת בהתמודדות עם בעיות מתחום התרמודינמיקה, שכן מספרם העצום של החלקיקים המעורבים במערכת הופך את פתרון משוואות התנועה שלהם לבלתי אפשרי. כדי לפתור בעיות מסוג זה פותחו בתרמודינמיקה כלים אחרים בדמות התאוריה הקינטית של הגזים והמכניקה הסטטיסטית.

כיום, במכניקת הקוונטים, אשר סותרת לכאורה את המכניקה הקלאסית, משתמשים דווקא במונחים מהמכניקה האנליטית ופחות במונחים ניוטוניים, תוך הכללתם לעולם התוכן הקוונטי. כך, בתורת הקוונטים, אופרטור ההתפתחות בזמן מוגדר על ידי ההמילטוניאן של הבעיה, ואילו בתורת השדות הקוונטית משתמשים בלגראנז'יאן של השדה כמושג מרכזי.

עיינו גם בפורטל פורטל הפיזיקה מהווה שער לחובבי הפיזיקה ולמתעניינים בתחום. בפורטל תוכלו למצוא מידע על פיזיקאים חשובים, על ענפי הפיזיקה, על תאוריות פיזיקליות ועוד.

ראו גם

• חשבון וריאציות
• היסטוריה של הפיזיקה
• תורת היחסות
• תורת הקוונטים

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0