מכפלה ריקה

במתמטיקה, מכפלה ריקה היא מכפלה ללא גורמים, והיא שווה ליחידה הכפלית, 1. המכפלה הריקה מוגדרת כמקרה פרטי של ההגדרה הכללית של מכפלה, והיא שומרת על העקביות של תכונות שימושיות הקשורות בכפל.

כפי שיוסבר להלן, ההגדרה הכי טבעית למכפלה ריקה היא אבר היחידה 1, האדיש לכפל. זאת באופן דומה להגדרת הסכום הריק כאבר היחידה החיבורי, 0.

צורות מוכרות של המכפלה הריקה הן הטענות

$a^{0}=1$ לכל $a\neq 0$
$0!=1$ (אפס עצרת)
$\prod _{i=m}^{n}x_{i}=1$ לכל $n<m$

הגדרות אלו עקביות עם התכונות של הפעולות הללו. למשל לפי חוקי חזקות: $a^{0}=a^{1-1}=a^{1}\cdot a^{-1}={\frac {a}{a}}=1$ .

משפטים רבים מניחים את קיום המכפלה הריקה. לדוגמה קיומה של המכפלה הריקה מאפשר את תקפות המשפט היסודי של האריתמטיקה לכל מספר טבעי כולל 1.

מדוע המכפלה הריקה שווה ל־1

יש שתי דרכים (מתלכדות כמובן) להגדיר את המכפלה של קבוצה סופית של מספרים טבעיים. דרך אחת היא להגדיר את המכפלה של שני מספרים (באינדוקציה), ואז להגדיר את המכפלה של כל קבוצה סופית באינדוקציה על גודל הקבוצה: $a_{1}\cdots a_{n}=(a_{1}\cdots a_{n-1})a_{n}$ . נוסחה זו מגדירה את המכפלה של שלושה מספרים או יותר בעזרת ההצבה $n\geq 2$ . אם מציבים בה n=1 מתברר שהמכפלה הריקה היא אבר היחידה הכפלי.

דרך נוספת להגדיר את המכפלה $a_{1}\cdots a_{n}$ כעוצמה של המכפלה הקרטזית של קבוצות בגדלים $a_{1},\ldots ,a_{n}$ . אבל המכפלה הקרטזית של משפחה ריקה של קבוצות היא קבוצה בת אבר אחד (ראו להלן), ולכן המכפלה הריקה שווה ל־1.

הכללות

מההגדרה הפורמלית של המכפלה הקרטזית, כאוסף כל פונקציות הבחירה מקבוצת האינדקסים, נובעת הזהות:

\prod _{i\in \varnothing }X_{i}=\{f_{\varnothing }:\varnothing \to \varnothing \}

כלומר מכפלה קרטזית ריקה של קבוצות היא יחידון שאיברו היחיד הוא הפונקציה הריקה. אם נפעיל על השוויון את כללי האריתמטיקה של עוצמות נקבל כי מכפלה ריקה של עוצמות, ובכללם מכפלה ריקה של מספרים טבעיים, שווה לעוצמת היחידון, שהיא 1.

באופן כללי מגדירים לרוב תוצאה ריקה של פעולה בינארית בתור האיבר הנייטרלי של הפעולה. לדוגמה חיתוך ריק של תתי־קבוצות של קבוצה $X$ שווה לקבוצה $X$ עצמה.

אפס בחזקת אפס

בעוד מספר בחזקת אפס מוגדר תמיד כמכפלה ריקה בתנאי שהוא שונה מאפס, לביטוי $0^{0}$ אין הגדרה חד־משמעית.

מצד אחד, ישנם תחומים בו הביטוי מוגדר כמכפלה ריקה. לדוגמה בתורת הקבוצות ובקומבינטוריקה תוצאת הפעולה $n^{k}$ מוגדרת כמספר הפונקציות מקבוצה עם $k$ אברים לקבוצה עם $n$ אברים. הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה האינטואיטיבית של חזקות ובנוסף היא מגדירה את השוויון $0^{0}=1$ , שכן בין שתי קבוצות ריקות קיימת פונקציה יחידה: הפונקציה הריקה. קיימים תחומים נוספים שבהם שימושי להגדיר $0^{0}=1$ , למשל בבינום של ניוטון (במקרה ואחד המחוברים שווה ל־0).

מצד שני, ישנם טיעונים בזכות חוסר הגדרה של הביטוי. לדוגמה לפי חוקי חזקות שהודגמו קודם $a^{0}={\frac {a}{a}}$ , ביטוי שאם נציב בו $a=0$ נקבל חלוקה באפס שהיא פעולה לא מוגדרת. באנליזה ניתן למצוא גבולות רבים הנותנים תוצאות שונות לביטוי $0^{0}$ ולכן בתחום זה נהוג שלא להגדיר את הביטוי.