ממד (אלגברה לינארית)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
גרסה מ־17:15, 5 באוקטובר 2020 מאת בוט גאון הירדן (שיחה | תרומות) (החלפת קטגוריה (דרך WP:JWB))
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה לינארית, הממד של מרחב וקטורי הוא מספר האברים בבסיס של המרחב. משום כך, הממד שווה למספר הפרמטרים החופשיים הנחוצים לתאר נקודות של המרחב, ובכך הוא מכליל את המספרים המוכרים אינטואיטיבית מן המרחבים האוקלידיים הראשונים: הקו הישר הוא חד-ממדי, המישור דו-ממדי, והמרחב המוגדר לפי אורך, רוחב וגובה הוא תלת-ממדי. כעוצמה של קבוצה, הממד הוא מספר טבעי (לרבות 0), או עוצמה אינסופית. לממד מהאלגברה הלינארית יש הכללות לתחומים רבים במתמטיקה.

מקובל לסמן את הממד של מרחב מעל שדה בסימון  ; כשרוצים לציין את התלות בשדה הבסיס מסמנים , ולפעמים גם . הממד של מרחב וקטורי מעל שדה נתון, מאפיין אותו באופן מלא: כל שני מרחבים וקטוריים בעלי אותו ממד הם איזומורפיים זה לזה. המרחב היחיד מממד 0 הוא מרחב האפס, הכולל את וקטור האפס בלבד. הממד קובע גם תכונות מסוימות של תת-מרחבים. למשל, אם מרחב וקטורי מממד סופי ו- תת-מרחב מאותו ממד, אז הם מוכרחים להיות שווים.

משפט הממדים קושר את הממד של סכום וחיתוך תת-מרחבים: אם אז .

הממד של מרחב הווקטורים שווה ל- , והממד של אלגברת המטריצות הוא .

הממד של סכום ישר של מרחבים הוא סכום הממדים, וממד המכפלה הטנזורית שווה למכפלת הממדים. גם ממד מרחב ההעתקות הלינאריות שווה למכפלת הממדים של המרחבים המעורבים. אם מרחב וקטורי מעל שדה שיש לו תת-שדה , אזי מרחב וקטורי מעל , והממדים מקיימים . בפרט, אם שדות, אז . עובדה בסיסית זו מאפשרת להסיק, למשל, שאי אפשר לקבל מספרים מסוימים על ידי פעולות של הוצאת שורש ריבועי, וזו הסיבה לכך שלא ניתן לבנות את , את הזווית 20°, או את השורש השביעי של היחידה (או את הרכיב הממשי שלו ) – כולן הבעיות הגאומטריות של ימי קדם.


Logo hamichlol 3.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0