מספר מרוכב

תיאור גרפי של מספר מרוכב a+bi כנקודה במישור: הציר ${\mathfrak {R}}$ מתאר את הרכיב הממשי a, והציר ${\mathfrak {I}}$ מתאר את הרכיב המדומה b.

במתמטיקה, מספר מרוכב הוא מספר מהצורה $a+bi$ כאשר $a,b$ הם מספרים ממשיים, ו־i השורש הריבועי של 1- או $i^{2}=-1$.

כיוון שהריבוע של כל מספר ממשי הוא חיובי, ל־1- (שהוא מספר שלילי) אין שורש בשדה המספרים הממשיים. המספרים המרוכבים מתקבלים על ידי 'המצאת' מספר $i$ שאינו ממשי, ושילובו במספרים הממשיים. מספרים מרוכבים, כדוגמת $3+2i$, מתקבלים באמצעות הפעולות האריתמטיות הרגילות בין המספרים הממשיים לבין המספר ה'חדש'.

שלא כמו במספרים הממשיים, מעל המספרים המרוכבים יש שורש לכל פולינום, לא רק למשוואה $x^{2}=-1$ שעל מנת למצוא לה פתרון הוגדר $i$ מלכתחילה, אלא גם למשוואות כמו $x^{6}+x^{2}+1=0$ או אפילו $x^{5}+(2-i)x+7i=0$. תכונה זו של שדה המספרים המרוכבים מנוסחת במשפט היסודי של האלגברה, והיא שהופכת את המספרים המרוכבים למרכזיים כל כך במתמטיקה המודרנית.

היסטוריה

יצירתם של המספרים המרוכבים, בתחילת המאה ה-16, מיוחסת לג'ירולמו קרדאנו, שנעזר בהם כדי לפתור את המשוואה ממעלה שלישית. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי רפאל בומבלי. באותה עת נחשבו מספרים כאלה ללא אמיתיים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן להם. דקארט, הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שנקרא כיום "מספר מרוכב". המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של אוילר וגאוס.

הגדרה פורמלית של המספרים המרוכבים

מספר מרוכב נכתב כך: $a+bi$, והוא סכום של שני מספרים – מספר ממשי $a$ ומספר מדומה. מספר מדומה הוא מספר מהצורה $bi$, כאשר $b$ הוא מספר ממשי, ואילו $i$ מקיים את התכונה הבאה: $i^{2}=-1$.

מזהים כל מספר מרוכב $a+bi$ עם הנקודה $(a,b)$ במישור האוקלידי, ומגדירים פעולות חיבור וכפל מיוחדות על נקודות אלו. כתוצאה מכך מתקבל שדה אלגברי. (לפרטים נוספים על הבנייה ראו שדה המספרים המרוכבים ולהסבר כללי על שיטת הרחבה זו ראו הרחבת שדות). ניתן לייצג מספרים מרוכבים בצורה גאומטרית על גבי מערכת צירים קרטזית במישור המרוכב.

אם $z=a+bi$, אז $a={\text{Re}}(z)$ נקרא החלק הממשי של $z$ ו־$b={\text{Im}}(z)$ נקרא החלק המדומה של $z$.

בחירת השמות 'מספר מדומה' מול 'מספר ממשי' מקורה בחוסר האמון שניתן בתחילה למספרים המרוכבים ובתחושה שהם מציאותיים פחות מהמספרים הממשיים; בתקופות שונות שרר חוסר אמון גם במספרים השליליים, ואחריהם במספרים הממשיים שאינם רציונליים.

אריתמטיקה של מספרים מרוכבים

המספרים המרוכבים מקיימים

$(a_{1}+b_{1}i)\pm (a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\pm a_{2})+(b_{1}\pm b_{2})i$

$(a_{1}+b_{1}i)\cdot (a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})i$

כמו כן נהוג להגדיר:

• ערך מוחלט: $|z|=|a+bi|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ – הערך המוחלט מציין את "גודלו" של המספר המרוכב (מרחקו מן הראשית, כאשר מסתכלים על המספר כעל נקודה במישור המרוכב).
• צמוד מרוכב: ${\bar {z}}={\overline {a+bi}}=a-bi$

ואז מתקיים: $|z|^{2}=z\cdot {\bar {z}}$. תכונה זו מאפשרת לבצע את פעולת החילוק בין שני מספרים מרוכבים באופן הבא:

${\frac {a_{1}+b_{1}i}{a_{2}+b_{2}i}}={\frac {(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}-b_{2}i)}{(a_{2}+b_{2}i)(a_{2}+b_{2}i)}}={\frac {(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}-b_{2}i)}{|a_{2}+b_{2}i|^{2}}}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}+{\frac {a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}i$

הצגה קוטבית

מספר מרוכב ניתן להציג גם באמצעות המרחק שלו מהראשית והזווית שהוא יוצר עם ציר X. הצגה זו נקראת הצגה קוטבית (פולרית). על ידי שימוש בטריגונומטריה, ובסימון $r=|z|$ מקבלים $z=r[\cos(\theta )+\sin(\theta )i]$. באמצעות נוסחת אוילר ניתן לכתוב זאת גם $z=re^{i\theta }$ כאשר $\theta =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)$ ואת $r$ על ידי הנוסחה $r=|z|=|a+bi|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$. כמו כן $e$ הוא בסיס הלוגריתם הטבעי, על כל התכונות האלגבריות המשתמעות מכך.

צורת הצגה זו שימושית ביותר. למשל, בהינתן ההצגה הקוטבית של מספר מרוכב פעולות הכפל והחילוק הופכות נוחות ומהירות יותר, מאחר שניתן להיעזר בחוקי חזקות. לדוגמה, בהינתן שני מספרים מרוכבים הנתונים בהצגתם הקוטבית $z_{1}=r_{1}e^{i\theta _{1}},z_{2}=r_{2}e^{i\theta _{2}}$ נוכל לבצע את פעולת הכפל ביניהם באופן הבא: $z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}e^{i\theta _{1}}\cdot r_{2}e^{i\theta _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}$. פעולת החילוק תיתן ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\theta _{1}-\theta _{2})}$. כמו כן, על מנת למצוא שורש של מספר מרוכב נוח להיעזר בהצגה הקוטבית של המספר, ראו פירוט בערך שורש של מספר.

שימושים

יש בעיות רבות במתמטיקה ובפיזיקה שקל יותר לתאר ולפתור בעזרת מספרים מרוכבים, גם כאשר אין למספרים אלו זכר בניסוח או בתוצאה הסופית של הבעיה.

שימושים במתמטיקה

המספרים המרוכבים הומצאו במקור כדי לפתור משוואות פולינומיות, כגון משוואה ממעלה שלישית, או המשוואה $x^{2}+1=0$. מאוחר יותר התגלה, שלכל פולינום בעל מקדמים שהם מספרים מרוכבים יש שורש שהוא מספר מרוכב.

באמצעות משפט השאריות אפשר לחשב אינטגרלים ממשיים, בייחוד אינטגרלים מוכללים (המכונים גם לא-אמיתיים או לא-נאותים) על כל הישר הממשי: מאפס (או מינוס אינסוף) עד אינסוף.

כמו כן, באמצעות ההצגה הקוטבית ניתן לפתור גם משוואות דיפרנציאליות.

פונקציית זטא של רימן, שהיא פונקציה מרוכבת, קשורה באופן מפתיע להתפלגות של מספרים ראשוניים (ראו גם השערת רימן).

דוגמאות לשימושים בפיזיקה ובהנדסת חשמל

בפיזיקה הקלאסית ניתן להשתמש בהצגה הקוטבית של מספרים מרוכבים בפתירת משוואות התנועה של מתנד הרמוני, שהן משוואות דיפרנציאליות. כמו כן הרבה פעמים נוח לחישובים לייצג גלים בצורה מרוכבת (לרוב מתייחסים לחלק הממשי בלבד כגודל בעל משמעות פיזיקלית).

במכניקת הקוונטים, בסיס המצבים של כל מערכת כלול במרחב הילברט מעל המספרים המרוכבים. לכל פונקציית גל יש מופע מרוכב שלא משפיע על גודל המשרעת שלה אלא רק על "כיוון" הגל, ומאפשר לה להתאבך עם פונקציות גל אחרות. אך יש לציין שההסתברות למדידת גודל פיזיקלי מדיד מסוים היא תמיד ממשית ולא-שלילית.

מספרים מרוכבים שימושיים במיוחד גם בתיאור גדלים מחזוריים, באופטיקה פיזיקלית, בתורת החשמל ובהנדסת חשמל. בתחומים אלה משתמשים בפאזורים (גדלים מרוכבים הכוללים משרעת ומופע). בשני התחומים האחרונים נהוג לסמן את החלק המרוכב באות $\ j$ במקום באות $\ i$, הואיל וזו כבר משמשת בהם לסימון זרם.

ראו גם

• שדה המספרים המרוכבים - הסבר מעמיק יותר לגבי המספרים המרוכבים
• המישור המרוכב
• המספר i

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', הכי ממשיים שיש: הכירו את המספרים המרוכבים, באתר ynet, 11 באוקטובר 2011
• הרצאה מצולמת על המספרים המרוכבים מאת פרופ' דוד צילג מתוך ספרית הווידאו של הטכניון - אלגברה א'