מעגל חוסם

מעגל חוסם של מתומן

בגאומטריה של המישור, מעגל חוסם של מצולע הוא מעגל העובר דרך כל הקודקודים של המצולע. בין המצולעים שיש להם מעגל חוסם: כל המשולשים, כל המלבנים, וכל המצולעים המשוכללים. מצולע שיש לו מעגל חוסם נקרא מצולע ציקלי.

המעגל החוסם משולש

בניית המעגל החוסם באמצעות מחוגה וסרגל

במשולש, מרכז המעגל החוסם הוא הנקודה שבה נפגשים שלושת האנכים האמצעיים של הצלעות. הסיבה לכך היא שאנך האמצעים הוא המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקיהן מקצות הקטע שווים זה לזה, ומרחקו של המרכז מן הקודקודים, העומדים בקצותיה של כל צלע, הוא קבוע.

מיקומו של מרכז המעגל החוסם במשולש תלוי בסוג המשולש. במשולש חד-זווית המרכז בתוך המשולש, במשולש ישר-זווית המרכז נמצא באמצע היתר (זהו אחד הנוסחים של משפט תלס), ובמשולש קהה-זווית המרכז מחוץ למשולש.

במשולש חד-זווית, מרכז המעגל החוסם בתוך המשולש
במשולש ישר-זווית, מרכז המעגל החוסם באמצע היתר
במשולש קהה-זווית, מרכז המעגל החוסם מחוץ למשולש

מרכז המעגל החוסם של משולש נמצא על קו ישר אחד עם מפגש התיכונים ועם מפגש הגבהים; הישר המחבר את הנקודות נקרא ישר אוילר.

שלוש נקודות הנמצאות על ישר אחד אינן יוצרות משולש במובן המקובל של המילה, אבל אפשר להתייחס לישר המונח עליהן כאילו היה המעגל החוסם - "מעגל ברדיוס אינסופי". נקודות הקרובות למצב כזה עשויות לגרום לאי-יציבות בחישוב המעגל החוסם.

משפט אוילר, הקרוי על שמו של המתמטיקאי לאונרד אוילר, קובע כי המרחק d בין מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום של משולש מקיים: $d^{2}=R\cdot (R-2r)$ , כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם ו- r הוא רדיוס המעגל החסום. מנוסחה זו נובע כי: $R\geq 2r$ .

הזוויות בין הישר המשיק למעגל החוסם, בקודקוד A, לבין צלעות המשולש, שוות לזוויות B ו- C.

ישר סימסון (באדום) העובר דרך נקודות ההיטל של נקודה הנמצאת על המעגל החוסם (בכחול), על צלעות המשולש (בשחור)

נקודה P נמצאת על המעגל החוסם אם ורק אם שלושת ההיטלים שלה על צלעות המשולש או המשכיהן נמצאים על ישר אחד. ישרים אלו, שהתגלו על ידי William Wallach ב-1797, קרויים בטעות ישרי סימסון, על-שם Robert Simson, ‏1687-1768^[1].

הקוטר והמרכז של המעגל החוסם

נסמן ב- $a,b,c$ את צלעות המשולש, וב- $\alpha$ את הזווית שמול $a$ . לפי משפט הסינוסים, $a=2Rsin(\alpha )$ , ולכן שטח המשולש נתון לפי השוויון $S={\frac {1}{2}}bc\sin(\alpha )={\frac {abc}{4R}}$ . מכאן שבכל משולש מתקיים היחס $\ 4RS=abc$ . את רדיוס המעגל החוסם אפשר לחשב ישירות מאורכי הצלעות a, b ו- c, לפי הנוסחה $\ R={\frac {abc}{4S}}$ , כאשר $\ S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ הוא שטח המשולש (לפי נוסחת הרון), ו- $\ s={\frac {a+b+c}{2}}$ חצי ההיקף. קוטרו של מעגל פיירבך הוא מחצית מזה של המעגל החוסם.

בקואורדינטות קרטזיות, המעגל החוסם של משולש שקודקודיו בנקודות $\mathbf {A} =(A_{x},A_{y})$ , $\mathbf {B} =(B_{x},B_{y})$ ו- $\mathbf {C} =(C_{x},C_{y})$ הוא האוסף של נקודות $\ v=(v_{x},v_{y})$ המקיימות את המשוואות $|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}-r^{2}=0$ , $|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}-r^{2}=0$ ו- $|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}-r^{2}=0$ ו- $|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}-r^{2}=0$ , שמהן נובע גם ש- $\mathbf {u}$ הוא מרכז המעגל החוסם. כשהופכים את המשוואות למערכת המשוואות הלינארית, מתברר שהן שקולות לכך שלמטריצה הריבועית ${\begin{vmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{vmatrix}}$ תהיה דטרמיננטה אפס. מנוסחת קרמר מתקבל הפתרון $\quad S_{x}={\frac {1}{2}}\det {\begin{vmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{vmatrix}},\quad S_{y}={\frac {1}{2}}\det {\begin{vmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{vmatrix}},$ , $a=\det {\begin{vmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{vmatrix}},\quad b=\det {\begin{vmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{vmatrix}}$ , ואז מתקבל המרכז $\ S/a$ ורדיוס המעגל $\ {\sqrt {ab+|S|^{2}}}/a$ . חישוב דומה מוביל לנוסחאות הכדור החוסם של ארבעון.

בקואורדינטות בריצנטריות, המעגל החוסם הוא אוסף הנקודות $\ x:y:z$ המקיימות $\ {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}=0$ . מרכז המעגל בקואורדינטות אלה הוא $\ a^{2}(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):b^{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2}):c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})$ .