מרחב (מתמטיקה)

במתמטיקה, מרחב הוא שם כללי לקבוצה בעלת תכונות מוגדרות הנושאת איתה מבנה נוסף. למושג זה אין הגדרה חדה, והוא משמש רק כדי להדגיש את תכונותיה של הקבוצה בה מדובר. מרחבים מסוגים שונים מכלילים מושגים טבעיים במדע. לדוגמה, מרחב מטרי הוא קבוצה שבה מוגדר מרחק בין כל שתי נקודות, ומרחב הסתברות עוסק באופן מדויק במושג ההסתברות.

באלגברה, מרחב וקטורי הוא קבוצה עם פעולות של חיבור וכפל ביחס לשדה הנמצא ברקע. מרחבים נורמיים הם מרחבים וקטוריים שבהם אפשר למדוד מרחק, ובמרחבי מכפלה פנימית אפשר למדוד גם זוויות. תכונות אנליטיות נוספות יש למרחבי בנך ומרחבי הילברט.

לאיברי המרחב קוראים לרוב נקודות.

מרחבים

מרחבים גאומטריים:

• מרחב אוקלידי (המרחב הגאומטרי המוכר לנו)
• מרחב פרויקטיבי - מרחב המקיים את האקסיומות של הגאומטריה הפרויקטיבית
• מרחב תלת-ממדי
• מרחב לא-אוקלידי (מרחבים בעלי עקמומיות)

מרחבים טופולוגיים (קבוצה עם מערכת סביבות, או מרחקים בין נקודות):

• מרחב טופולוגי (מרחב עם מערכת סביבות המוגדרת מעליו)
• מרחב האוסדורף (מרחב טופולוגי בו כל 2 נקודות ניתנות להפרדה)
• מרחב רגולרי (מרחב בו ניתן להפריד קבוצה ונקודה סגורה)
• מרחב רגולרי לחלוטין (מרחב בו ניתן להפריד קבוצה ונקודה סגורה באמצעות פונקציה רציפה)
• מרחב נורמלי (מרחב בו ניתן להפריד 2 קבוצות סגורות)
• מרחב מטרי (מרחב עם מטריקה - פונקציית מרחק)
• מרחב ספרבילי - מרחב שקיימת בו קבוצה צפופה בת מנייה
• מרחב גאודזי - מרחב מטרי $\ X$ (עם מטריקה $\ d$), שבו כל המרחקים נמדדים על ידי מסילות מתאימות
• מרחב היפרבולי - מרחב גאודזי הדומה, במובן מסוים, למודל הדיסק של הגאומטריה ההיפרבולית

מרחבים אלגברים (קבוצה עם פעולה או פונקציה מעליהם):

• מרחב וקטורי (מרחב הסגור תחת צירופים לינאריים)
• מרחב מדיד - מרחב עם סיגמא-אלגברה של קבוצות
• מרחב מידה (מרחב תתי-קבוצות עם פונקציית מידה)
• מרחב הסתברות (מרחב מאורעות עם מידת הסתברות)

מרחבים אלגברים וטופולוגים:

• מרחב נורמי (מרחב וקטורי עם נורמה)
• מרחב מכפלה פנימית (מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית המשרה נורמה "אוקלידית")
• מרחב בנך (מרחב נורמי שלם)
• מרחב הילברט (מרחב מכפלה פנימית שלם)