משוואות מקסוול

בפיזיקה, באלקטרומגנטיות, משוואות מקסוול (על שם הפיזיקאי ג'יימס קלרק מקסוול) הן מערכת של ארבע משוואות דיפרנציאליות חלקיות המתארות את תכונותיהם של השדה החשמלי והשדה המגנטי ואת הקשר ביניהם לבין מקורותיהם, צפיפות המטען וצפיפות הזרם בהתאמה. באמצעות משוואות אלה ניתן להראות גם כי האור הוא גל אלקטרומגנטי, ואף לגזור את משוואת הגל האלקטרומגנטי.

ארבע משוואות מקסוול הן חוק גאוס, חוק גאוס למגנטיות, חוק פאראדיי וחוק אמפר (עם תיקון מקסוול). עם המשוואה של כוח לורנץ, משוואות מקסוול מהוות תיאור מתמטי שלם של חוקי תורת החשמל והמגנטיות הקלאסית. למעשה, חוק לורנץ עצמו נוסח על ידי מקסוול כאחת משמונה משוואות מקסוול המקוריות (ראו בהמשך).

תיאור כללי

פרק זה יתאר, בצורה רעיונית ולא מתמטית, את ארבע משוואות מקסוול וכיצד הן משתלבות ביחד להסברת מקורה של קרינה אלקטרומגנטית כגון אור. המשוואות המתמטיות המדויקות מופיעות בפרק הבא.

• המשוואה הראשונה - חוק גאוס - מתארת את אחד המקורות של השדה החשמלי, שהוא המטען החשמלי. המשוואה מבטאת קשר בין השטף של השדה החשמלי דרך משטח סגור (הנקרא בהקשר זה משטח גאוסיאני) לכמות המטען שנמצאת בתוך הנפח התחום על ידי המשטח הסגור הזה. לפי חוק גאוס השטף החשמלי דרך משטח גאוסיאני אינו קשור לצורתו או לגודלו של המשטח, אלא רק לכמות המטען הכלואה בתוכו.

• המשוואה השנייה - חוק גאוס למגנטיות - קובעת שאין מונופולים מגנטיים ולכן השטף המגנטי דרך כל משטח גאוסיאני הוא אפס. הסיבה לכך היא, שמטענים מגנטיים באים תמיד בזוגות (הנקראים דיפולים). כל אחד משני המטענים בדיפול יוצר שטף מגנטי בכיוון מנוגד, וכך הם מבטלים אחד את השני. מספר תאוריות פיזיקליות מניחות את קיומו של מטען מגנטי בודד, הנקרא מונופול מגנטי (הנחת מונופול מגנטי יוצרת סימטריה יפה במשוואות מקסוול עצמן).

• המשוואה השלישית - חוק פאראדיי - מתארת כיצד שינוי בשדה מגנטי גורם ליצירת שדה חשמלי. זהו, למשל, העקרון העומד מאחורי סוגים רבים של גנרטורים חשמליים: כוח מכני, כמו מים הנופלים על טורבינות בסכר הידרואלקטרי, מסובב מגנט ענק, והשדה המגנטי המשתנה יוצר שדה חשמלי אשר מזרים חשמל דרך קווי המתח.

• המשוואה הרביעית - חוק אמפר (עם תיקון מקסוול) - מתארת כי ניתן ליצור שדות מגנטיים בשתי דרכים: באמצעות זרם חשמלי (חוק אמפר המקורי) ובאמצעות שדות חשמליים משתנים (תיקון מקסוול).

ניתן לראות כי שינוי בשדה מגנטי יוצר שדה חשמלי, ושינוי בשדה חשמלי יוצר, בתורו, שדה מגנטי - זהו הבסיס לגל האלקטרומגנטי.

משוואות מקסוול

את משוואות מקסוול אפשר לכתוב בהרבה צורות. בכתיב וקטורי, במערכת יחידות SI בריק, הן נראות כך:

צורה דיפרנציאלית	צורה אינטגרלית
${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\mathbf {E} }}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$	$\oint _{S}{\vec {\mathbf {E} }}\cdot d\mathbf {S} ={\frac {q}{\epsilon _{0}}}$
${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\mathbf {B} }}=0$	$\oint _{S}{\vec {\mathbf {B} }}\cdot d\mathbf {S} =0$
${\vec {\nabla }}\times {\vec {\mathbf {E} }}=-{\frac {\partial {\vec {\mathbf {B} }}}{\partial t}}$	$\oint {\vec {\mathbf {E} }}\cdot d\mathbf {l} =-{\frac {d\Phi _{M}}{dt}}$
${\vec {\nabla }}\times {\vec {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\vec {\mathbf {J} }}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {\mathbf {E} }}}{\partial t}}$	$\oint {\vec {\mathbf {B} }}\cdot d\mathbf {l} =\mu _{0}(I+\epsilon _{0}{\frac {d\Phi _{E}}{dt}})$

$\ t$ הוא הזמן והאופרטור $\ {\vec {\nabla }}\equiv ({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}})$ הוא אופרטור נַבּלה.

$\ {\vec {E}}(\mathbf {r} ,t)$ הוא השדה החשמלי.

$\ {\vec {B}}(\mathbf {r} ,t)$ הוא שדה ההשראות המגנטית.

שניהם נקבעים על־פי קונפיגורציית המטענים והזרמים במרחב. אלו הם השדות הבסיסיים, כלומר שדות אלו מתארים את המצב האלקטרומגנטי.

$\ \rho ({\vec {r}},t)$ הוא הצפיפות הנפחית של המטען החשמלי

${\vec {J}}({\vec {r}},t)$ הוא וקטור צפיפות הזרם של הזרם החשמלי ליחידת שטח.

$\displaystyle \Phi _{M}$ הוא השטף המגנטי.

$\displaystyle \mu _{0}$ הוא פרמאביליות הריק.

$\displaystyle \epsilon _{0}$ הוא המקדם הדיאלקטרי של הריק.

בנוסף, בעזרת כוח לורנץ, $\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$, ניתן, כעיקרון, לרשום את משוואות התנועה עבור כל חלקיק טעון בעל מטען $\ q$ ומסה $\ m$.

בעזרת משוואות מקסוול ניתן להסביר מגוון רב של תופעות טבע, בהן: התופעות החשמליות והמגנטיות שחלק מהן יפורטו בהמשך, אופטיקה גאומטרית (חוק סנל), התאבכות ועקיפה, תופעות הקשורות בקיטוב (משוואות פרנל, שבירה כפולה, פעילות אופטית ועוד). גם במכניקת הקוונטים עושים שימוש במשוואות מקסוול (בתיאור הסמי־קלאסי) כדי לתאר את האינטראקציה בין קרינה וחומר.

קיימות תופעות אותן לא ניתן להסביר בתיאור הסמי־קלאסי, כמו למשל פליטה ספונטנית. לכן פותחה אלקטרודינמיקה קוונטית, הנותנת משמעות ברורה למושג פוטון. משוואות מקסוול מתקבלות כגבול של האלקטרודינמיקה הקוונטית עבור עצמת אור חזקה.

תנאי שפה

כאשר באים לפתור את משוואות מקסוול בתווך חומרי, בהינתן התפלגות של זרמים ומטענים, יש לדעת מהם תנאי השפה בנקודות אי רציפות של החומר, למשל בשפה של זכוכית ואוויר (כמו בסיב אופטי). השדות הבסיסיים בריק במקרה זה הם $\ E$ ו־$\ B$, בעוד השדות המושרים עקב תכונות החומר הם $\ D$ ו־$\ H$ בהתאמה עבור השדה החשמלי והמגנטי.

בעזרת חוק גאוס ניתן להראות:

• הרכיב הניצב של שדה ההעתקה החשמלי החשמלי $\ D$ רציף כלומר קיימת אי רציפות לרכיב השדה החשמלי הניצב למשטח שתלויה במקדם הדיאלקטרי של החומר.
• אם אין מטענים חופשיים הרכיב הניצב למשטח של השדה המגנטי המושרה $\ H$ רציף.

בעזרת משפט סטוקס ניתן להראות:

• הרכיב המקביל למשטח של השדה החשמלי $\ E$ רציף.
• בהינתן שאין זרמים הרכיב המקביל למשטח של השדה המגנטי $\ B$ רציף.

ראו גם חוקי פרנל לתיאור של מקדמי ההחזרה והשבירה בשפה בין שני תווכים דיאלקטריים.

המשמעות הפיזיקלית של המשוואות

משוואות מקסוול מתארות חוקי טבע שהיו ידועים, לפחות בחלקם, לפני שמקסוול רשם את המשוואות. החוקים עליהם מקסוול ביסס את המשוואות הם:

• חוק קולון - תיאור השדה החשמלי כתלות במטען היוצר אותו
• חוק גאוס - צורה גלובלית יותר של חוק קולון, שמתארת את השדה החשמלי כתלות בהתפלגות המטענים במרחב
• חוק אמפר - תיאור השדה המגנטי כתלות בזרמים היוצרים אותו
• חוק ביו-סבר (Biot-Savart) - גרסה לוקלית של חוק אמפר
• חוק פרדיי (Faraday) - מתאר את תופעת ההשראה האלקטרומגנטית
• אין מטענים (מונופולים) מגנטיים

לאלו מקסוול הוסיף את משוואת הרציפות $\nabla \cdot {\vec {J}}({\vec {r}},t)=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$, על פיה, שינויים במרחב בצפיפות הזרם יכולים לנבוע רק משינויים בזמן בצפיפות המטען - כלומר: חוק שימור המטען החשמלי.

משוואות מקסוול ביחידות cgs

ביחידות cgs היחידה הבסיסית שמוגדרת היא המטען החשמלי (esu), וניסוחו של חוק קולון יהיה:

$\ F={\frac {Qq}{r^{2}}}$

כלומר, המטען ביחידות cgs מוגדר כך שקבוע קולון הוא 1. כתוצאה מהגדרה זו השדה החשמלי והשדה המגנטי נמדדים שניהם באותה יחידה: גאוס.

משוואות מקסוול ביחידות cgs נראות כך:

1. חוק קולון/חוק גאוס:

   $\ {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=4\pi \rho$

2. חוק פאראדיי:

   $\ {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

3. אי־קיומם של מונופלים מגנטים:

   $\ {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$

4. חוק אמפר המתוקן:

   $\ {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}$

שיטה זו מדגישה את הסימטריה במשוואות מקסוול, ולכן לרוב היא מועדפת כאשר עוסקים בפיתוחים תאורטיים. לעומת זה שיטת היחידות של SI מבוססת על היחידה הבסיסת של הזרם - אמפר, שלרוב הוא הגודל הנמדד באופן ישיר, ולכן השיטה מועדפת בעת עריכת ניסויים או תכנון מערכות מעשיות.

בחומר

בחומר בעל מקדם דיאלקטרי $\epsilon \!$ ומקדם מגנטיות $\mu \!$ כך ש:

$\ {\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}\quad ,\quad {\vec {B}}=\mu {\vec {H}}$

משוואות מקסוול במונחי הזרמים והמטענים החופשיים הן:

1. ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=4\pi \rho _{f}$
2. ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$
3. ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$
4. ${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}_{f}$

משוואות מקסוול בצורה יחסותית

בתורת היחסות מאחדים את השדה החשמלי והשדה המגנטי לישות טנזורית הנקראת טנזור השדה האלקטרומגנטי $\ F_{\mu \nu }$ המוגדר על ידי:

$\ F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$

כאשר $A=(\phi /c,{\vec {A}})$ הוא 4-וקטור הפוטנציאל האלקטרומגנטי.

בצורה זו ניתן לרשום את 4 משוואות מקסוול כ־2 משוואות יחסותיות קו־ואריאנטיות:

• $\ \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=0$ (זהות ביאנקי)
• $\ \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=j^{\nu }/c$ (ביחידות גאוס) או $\ \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=4\pi j^{\nu }$

המשוואה העליונה שקולה ל־2 משוואות מקסוול ההומוגניות. המשוואה התחתונה שקולה ל־2 משוואות מקסוול הלא־הומגוניות (כלומר, עם מטענים וזרמים חשמליים).

מ־2 משוואות אלה נגזרות עוד 2 משוואות חשובות:

• $\ \partial _{\mu }j^{\mu }=0$ (משוואת רציפות של המטענים והזרמים החשמליים)
• $\ \partial ^{2}A=\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}\right)A=0$ (משוואת הגלים)

ראו גם

• שדה חשמלי
• משפט פוינטינג
• טרנספורמציות לורנץ
• תורת היחסות הפרטית
• יופי מתמטי

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משוואות מקסוול בוויקישיתוף

• אבני דרך, עשר התגליות הגדולות בפיזיקה ובאסטרונומיה
• קבלת משוואות מקסוול מתוך עקרונות יסוד פיזיקליים מתוך הבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית"