משפט תאלס

במתמטיקה קיימים שני משפטים המכונים בשם משפט תַאלֵס, על שמו של תַאלֵס איש מילֶטוֹס.

המשפט הראשון

משפט תאלס הפשוט והרחבה ראשונה

בגאומטריה האוקלידית, משפט תאלס קובע שישרים מקבילים חותכים משתי שוקי זווית קטעים בעלי יחסים שווים.

למשל, בציור משמאל, אם $DE\|BC$ אז ${\frac {AD}{DB}}={\frac {AE}{EC}}$ .

על־פי ערך משולש ניתן להגיע לשוויונות נוספים, כמו ${\frac {AB}{DB}}={\frac {AC}{EC}}$ .

הרחבות

הרחבה ראשונה

הרחבה שניה

כאמור, משפט תאלס הפשוט מתייחס רק למקרה שבו הישרים המקבילים נמצאים מאותו צד של קדקוד הזוית.

ההרחבה הראשונה קובעת שמשפט תאלס נכון גם אם הישרים אינם מאותו צד של קדקוד הזוית.

למשל, בציור משמאל, אם $DE\|BC$ אז ${\frac {AB}{AD}}={\frac {AC}{AE}}$ .

הרחבה שניה

ההרחבה השניה קובעת שגם היחס בין הקטעים שהזוית חותכת מהישרים המקבילים, שווה ליחס בין החלקים שהישרים המקבילים חותכים משוקי הזוית.

למשל, בציור משמאל, אם $DE\|BC$ אז ${\frac {AB}{AD}}={\frac {AC}{AE}}={\frac {BC}{DE}}$ .

הוכחה

המשפט עצמו

מעבירים את הישרים $BE,CD$ .

בוחנים את המשולשים $\triangle BDE,\triangle CDE$ .

בשני משולשים אלו $DE$ צלע, והגובה מ־$B$ ל־$DE$ שווה לגובה מ־$C$ ל־$DE$ . (כי $DE\|BC$)

לכן שטחי משולשים אלו שווים, כלומר $S_{BDE}=S_{CDE}$ .

אם מוסיפים לשני האגפים את שטח המשולש $\triangle ADE$ , מקבלים $S_{ABE}=S_{ACD}$ .

מחלקים את שני האגפים בשטח המשולש $\triangle ADE$ , ומקבלים ${\frac {S_{ABE}}{S_{ADE}}}={\frac {S_{ACD}}{S_{ADE}}}$ .

מורידים גובה $h_{1}$ מ־$E$ ל־$AB$ , וגובה $h_{2}$ מ־$D$ ל־$AC$ .

כיון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, מקבלים: ${\frac {\frac {h_{1}AB}{2}}{\frac {h_{1}AD}{2}}}={\frac {\frac {h_{2}AC}{2}}{\frac {h_{2}AE}{2}}}$ .

לאחר צמצום מקבלים: ${\frac {AB}{AD}}={\frac {AC}{AE}}$ .

הרחבה ראשונה

מעבירים את $BE$ ואת $CD$ .

בוחנים את המשולשים $\triangle BDE,\triangle CDE$ .

בשני משולשים אלו $DE$ צלע, והגובה מ־$B$ ל־$DE$ שווה לגובה מ־$C$ ל־$DE$ . (כי $DE\|BC$)

לכן שטחי משולשים אלו שווים, כלומר $S_{BDE}=S_{CDE}$

אם מורידים משני האגפים את שטח המשולש $\triangle ADE$ , מקבלים $S_{ABE}=S_{ACD}$ .

מחלקים את שני האגפים בשטח המשולש $\triangle ADE$ , ומקבלים ${\frac {S_{ABE}}{S_{ADE}}}={\frac {S_{ACD}}{S_{ADE}}}$ .

מורידים גובה $h_{1}$ מ־$E$ ל־$AB$ , וגובה $h_{2}$ מ־$D$ ל־$AC$ .

כיון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, מקבלים: ${\frac {\frac {h_{1}AB}{2}}{\frac {h_{1}AD}{2}}}={\frac {\frac {h_{2}AC}{2}}{\frac {h_{2}AE}{2}}}$ .

לאחר צמצום מקבלים: ${\frac {AB}{AD}}={\frac {AC}{AE}}$

הרחבה שניה

על הקטע $BC$ מסמנים נקודה $M$ , כך שמתקבל $DE=MC$ .

כיון ש־ $DE=MC$ וגם $DE\|MC$ , אזי $DECM$ מקבילית ולכן $DM\|EC$ .

לכן על־פי משפט תאלס, (כאשר מתייחסים לזוית $\angle ABC$) מקבלים ${\frac {BC}{MC}}={\frac {AB}{AD}}$ .

נציב $DE=MC$ ונקבל ${\frac {BC}{DE}}={\frac {AB}{AD}}$ .

המשפט השני

משפט תאלס: $B$ היא זוית ישרה

בגאומטריה האוקלידית, משפט תאלס קובע שהזוית המונחת על קוטר במעגל היא זוית ישרה: אם הנקודות $A,B,C$ מונחות על מעגל והקו $AC$ עובר דרך מרכז המעגל, אזי $\angle ABC=90^{\circ }$ .

משפט זה היה ידוע ככל הנראה באופן אמפירי כבר למצרים והבבלים, אך הם לא עסקו בהוכחות גאומטריות, וממילא לא סיפקו הוכחה גם למשפט זה. ההוכחה הראשונה מיוחסת לפילוסוף והגאומטריקאי היווני תאלס ממילטוס, שעל-שמו קרוי המשפט.

הוכחת המשפט

ההוכחה מסתמכת על שתי עובדות ידועות, שגם אותן מייחס אוקלידס בספרו, "יסודות", לתאלס.

• זויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים, שוות זו לזו.
• סכום הזוויות במשולש שווה $180^{\circ }$ .

הוכחת משפט תאלס

נסמן $O$ את מרכז המעגל.

כיון שהנקודות $A,B,C$ מונחות על המעגל, מתקיים $OA=OB=OC$ ולכן המשולשים $\triangle OAB,\triangle OBC$ שניהם שווי־שוקיים.

לפי העובדה הראשונה שהוזכרה לעיל, $\angle OBC=\angle OCB$ וכן $\angle BAO=\angle ABO$ .

נסמן את הזוית הראשונה $\delta$, ואת השניה $\gamma$ .

סכום הזויות במשולש $\triangle ABC$ הוא $2\delta +2\gamma =180^{\circ }$ . נחלק את שני האגפים ב־2 ונקבל $\gamma +\delta =90^{\circ }$ .

ניסוח סימטרי והכללה

המשפט, כפי שהוצג כאן, קובע שאם משולש חסום במעגל באופן שאחת מצלעותיו היא קוטר, אז המשולש הוא ישר־זוית. גם ההפך נכון, וכך אפשר לנסח את המשפט באופן סימטרי:

• המרכז של מעגל החוסם משולש מונח על אחת הצלעות, אם ורק אם המשולש ישר-זווית.

משפט תאלס הוא מקרה פרטי של המשפט שלפיו זוית מרכזית המונחת על מיתר במעגל כפולה תמיד מן הזוית ההקפית.

מקור השם

השם לשני המשפטים ניתן במחצית השנייה של המאה ה-19 בצרפת ובאיטליה מחד ובגרמניה מאידך. באותה עת גברה ההתעניינות בהיסטוריה של המתמטיקה והתחקות אחר מקורותיה. לכך התחבר צורך דידאקטי: לתת שמות למשפטים שנחשבו מרכזיים בספרי הלימוד. בחירת שמות מתמטיקאים מהעת העתיקה ובפרט מיוון, ערש התרבות המערבית, עשוי היה להקנות ערכים של חשיבות ומסורת. שני משפטים אלה (או הקרובים להם מאוד) הם מבין חמשת המשפטים הידועים כהשגיו של תאלס, אך אין עדויות לכך שהוכיח אותם.

הבחירת במשפטים שונים בצרפת ובגרמניה היא עדות לשוני בשתי המדינות בגישה לגאומטריה. הצרפתים הושפעו מסיפרו של אדריאן-מארי לז'נדר "יסודות בגאומטריה". לז'נדר הקדים את חקירת המעגל (פרק שלישי בספר יסודות של אוקלידס) לחקירת המשולש והמקבילית (פרק ראשון ושני). הגאומטריה האפינית והגאומטריה הפרויקטיבית שהתפתחו באותה תקופה העמידו במרכז את היחסים בין קטעים בעוד שאצל אוקלידס הם מופיעים בפרק שש כדמיון משולשים. הפיכת סדר הפרקים הצביעה על שינוי מהותי בתפישה. לפיכך בחרו הצרפתים במשפט שדן ביחסים בין קטעים. הגרמנים דגלו בגאומטריה האוקלידית, הקפידו על הסדר שבספרו ומרכזיות משפט פיתגורס ולכן בחרו במשפט שמתחבר לנושא המשולש (משולש התחום במעגל).

מדינות שהושפעו מהגישה הצרפתית היו: ספרד, בלגיה ורוסיה. מדינות שהושפעו מהגישה הגרמנית היו: אוסטריה, הונגריה וצ'כוסלובקיה. עד שנות העשרים של המאה ה-20 ספרי הלימוד ביוון בחרו בגישה הגרמנית ואז זו הוחלפה בגישה הצרפתית. באנגליה וארצות-הברית לא נעשה שימוש בשמו של תאלס למשפטים אלה באותה תקופה.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0