נגזרת

משיק לפונקציה (הנגזרת בנקודת ההשקה היא שיפוע המשיק)

אנימציה הממחישה את מושג הנגזרת כשיפוע המשיק לגרף הפונקציה בכל נקודה

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בחשבון אינפיניטסימלי, הנגזרת של פונקציה ממשית מתארת את קצב ההשתנות של הפונקציה. לדוגמה, הנגזרת לפי משתנה הזמן של פונקציית המיקום (העתק) של מכונית נוסעת, היא המהירות של המכונית, ובאותו אופן הנגזרת של המהירות שווה לתאוצה. הנגזרת מוגדרת כגבול של היחס שבו משתנה ערך הפונקציה בעקבות שינוי זעיר בערך הפרמטר.

למושג הנגזרת יש פירוש גאומטרי: הנגזרת של פונקציה בנקודה שווה לשיפוע המשיק באותה נקודה, כלומר, לכיוון של העקומה שהפונקציה מתארת.

הפונקציה הנגזרת של פונקציה ממשית $f$ היא בעצמה פונקציה ממשית, שערכה בנקודה $x$ שווה לערך הנגזרת של $f$ באותה נקודה. הפונקציה הנגזרת היא כלי בסיסי בחקר הפונקציות. למשל, בנקודות קיצון (נקודות מינימום ומקסימום מקומיים של הפונקציה) ערך הפונקציה הנגזרת הוא אפס. לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, אפשר, בתנאים מסוימים, לשחזר את הפונקציה המקורית מן הפונקציה הנגזרת שלה, באמצעות אינטגרציה. את הנגזרת של פונקציה אלמנטרית אפשר לחשב באמצעות כללי גזירה ידועים.

לא לכל פונקציה ממשית רציפה יש בהכרח נגזרת; פונקציה בעלת נגזרת נקראת פונקציה גזירה (בנקודה או בקטע).

למושג הנגזרת ישנו חשיבות גדולה בפיזיקה, שכן גדלים פיזיקליים רבים כמו מהירות, ותאוצה מוגדרים באמצעות נגזרות. חוקי התנועה בענפים רבים בפיזיקה מבוססים על משוואות דפרנציאליות – משוואות הקושרות גדלים עם הנגזרות שלהם.

את מושג הנגזרת אפשר להכליל לפונקציות מרוכבות ולפונקציות (ממשיות או מרוכבות) בכמה משתנים. במקרה האחרון הנגזרת היא וקטור שרכיביו הם הנגזרות החלקיות של הפונקציה. באלגברה מופשטת נחקרות התכונות האלגבריות של הנגזרת בענף הנקרא אלגברה דיפרנציאלית.

הגדרה

הנגזרת של פונקציה $f$ בנקודה $x$ מוגדרת כגבול $\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ , בתנאי שהגבול קיים (וסופי). גבול זה שווה לשיפוע הישר המחבר את הנקודה ${\bigl (}x,f(x){\bigr )}$ שעל גרף הפונקציה עם הנקודה הקרובה לה ${\bigl (}x+h,f(x+h){\bigr )}$ , ולכן הנגזרת מתארת את שיפוע המשיק בנקודה. את ערך הנגזרת מקובל לסמן $f'(x)$ או ${\dot {f}}(x)$ .

אם לפונקציה יש נגזרת בנקודה, אומרים שהפונקציה גזירה שם; הפונקציה גזירה בקטע ממשי $D$ אם היא גזירה בכל הנקודות שלו.

הפונקציה הנגזרת של פונקציה גזירה $f$ היא הפונקציה המתאימה לכל $x$ את הנגזרת $f'(x)$ . את הפונקציה הזו מסמנים $f',{\dot {f}}(x),{\frac {df}{dx}}$ . כאן $x$ הוא שם המשתנה שלפיו גוזרים את הפונקציה. בפונקציה של כמה משתנים אפשר להתייחס לכולם פרט לאחד כאילו היו קבועים, ולגזור את הפונקציה לפי המשתנה האחרון. לנגזרת כזו קוראים נגזרת חלקית, ומסמנים ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ .

סימון לנגזרת

להלן סימונים מקובלים נוספים, המשמשים לסימון נגזרות. אלו הם הסימונים של גוטפריד וילהלם לייבניץ ובאופן אינטואיטיבי הם מייצגים את הנגזרת כמנה של דיפרנציאלים השואפים לאפס. סימונים אלה שימושיים בפיזיקה, באנליזה וקטורית ובפתרון משוואה דיפרנציאלית.

נגזרת מלאה לפי $t$ :

${\begin{aligned}f'(t)={\frac {df(t)}{dt}}\\f''(t)={\frac {d^{2}f(t)}{dt^{2}}}\\f^{(n)}(t)={\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}\end{aligned}}$

נגזרות חלקיות (לפי $x$ או $y$):

${\begin{aligned}f_{x}(x,y)=\left({\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right)_{y}=\partial _{x}f(x,y)\\f_{xy}(x,y)={\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}}\end{aligned}}$

לפעמים נהוג לקצר את הסימון המסורבל הזה המופיע מימין ולסמן נגזרת חלקית כאופרטור ($\partial _{x}$) הפועל על הפונקציה, דבר שמביא תועלת בביצוע חישובים בנוסף לקיצור הכתיבה.

בפיזיקה נהוג לסמן נגזרת ראשונה לפי הזמן בנקודה מעל סימון הפונקציה (למשל ${\dot {x}}$ היא הנגזרת של הפונקציה $x$ לפי הזמן), ונגזרת שנייה לפי הזמן בשתי נקודות מעל סימון הפונקציה. כך למשל, החוק השני של ניוטון, הנכתב בדרך כלל כ-$F=ma$ , יכתב כ-$F=m{\ddot {x}}$ (שכן הנגזרת השנייה של המיקום לפי הזמן של גוף כלשהו היא תאוצתו).

חישוב הנגזרת

את הפונקציה הנגזרת אפשר לחשב מן הנגזרות של כמה פונקציות בסיסיות, יחד עם כללי צירופים מתאימים.

נגזרות בסיסיות

בטבלאות מוצגות הנגזרות הידועות למספר פונקציות שימושיות. בנוסחאות הגזירה שלהלן, $c$ הוא קבוע.

כללי גזירה

כללי הגזירה הבסיסיים מטפלים בפעולות אריתמטיות בין פונקציות:

• אדיטיביות: לכל שתי פונקציות $f,g$ מתקיים $(f+g)'=f'+g'$ .
• הומוגניות: לכל פונקציה $f$ וקבוע $c$ מתקיים $(cf)'=cf'$ .
• כלל המכפלה (כלל לייבניץ): $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$ .

מכאן נובעת הנוסחה לנגזרת ה-$n$-ית: $(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k)}$ , כאשר ${\tbinom {n}{k}}$ הוא המקדם הבינומי.

• כלל המנה: כאשר $g\neq 0$ מתקיים $\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'\cdot g-f\cdot g'}{g^{2}}}$ .

את הנגזרת של הרכבת פונקציות אפשר לחשב באמצעות

• כלל השרשרת: אם $f(x)=h{\bigl (}g(x){\bigr )}$ אז $f'(x)=h'{\bigl (}g(x){\bigr )}\cdot g'(x)$ .

אפשר לחשב את הנגזרת גם אם הפונקציה נתונה באופן סתום. לדוגמה, אם $x^{3}+y^{3}=1$ מגדיר את $y$ כפונקציה של $x$ , אז גזירה לפי $x$ נותנת $3x^{2}+3y^{2}y'=0$ , או $y'=-{\frac {x^{2}}{y^{2}}}$ . משפט הפונקציות הסתומות מכליל שיטה זו לפונקציות בכמה משתנים.

הנגזרת של פונקציה זוגית היא פונקציה אי-זוגית ולהפך. עובדה זו נקראת לפעמים "חוק הזוגיות".

דוגמה

כדוגמה לשימוש בכללי הגזירה, הנגזרת של הפונקציה:

$f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7$

היא

${\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+\cos(x^{2})\cdot {\frac {d(x^{2})}{dx}}-e^{x}\cdot {\frac {d{\bigl (}\ln(x){\bigr )}}{dx}}-\ln(x)\cdot {\frac {d(e^{x})}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-e^{x}\left({\frac {1}{x}}+\ln(x)\right)\end{aligned}}$

את הביטוי השני חישבנו באמצעות כלל השרשרת, ואת השלישי באמצעות כלל המכפלה. כמו כן, השתמשנו בנגזרות הידועות של הפונקציות הבסיסיות (ראו בטבלאות).

גזירה נומרית

ניתן לחשב קירוב לנגזרת של פונקציה באמצעות אנליזה נומרית. אם נתונה הקבוצה $\{x_{i}\}$ , כך שבכל נקודה $x_{i}$ נתון ערך הפונקציה $f(x_{i})$ , ישנן מספר שיטות לקבל קירוב של הנגזרת בנקודה $x_{i}$ . למשל, כאשר נתון ערך הפונקציה בשלוש נקודות סביב הנקודה הרצויה, ניתן לקבל קירוב לנגזרת באמצעות הנוסחה:

$f'(x_{i})\approx {\frac {{\frac {h_{i}}{h_{i+1}}}(f_{i+1}-f_{i})-{\frac {h_{i+1}}{h_{i}}}(f_{i-1}-f_{i})}{h_{i}+h_{i+1}}}$

כאשר $h_{i}=x_{i+1}-x_{i}$ .

גזירות ורציפה

אם פונקציה גזירה בנקודה מסוימת, היא רציפה בנקודה זו. ההפך אינו נכון – פונקציית הערך המוחלט $|x|$ רציפה בכל הישר, אך אינה גזירה בנקודה $x=0$ . פונקציית ויירשטראס היא פונקציה שרציפה בכל נקודה, אך לא גזירה באף נקודה.

רציפות הנגזרת

רציפות הוא תנאי הכרחי לכך שפונקציה תהיה גזירה. הנגזרת עצמה אינה חייבת להיות רציפה, כפי שהפונקציה

$f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)&:x\neq 0\\0&:x=0\end{cases}}$

מדגימה בנקודה $x=0$ : לפי הגדרת הנגזרת באמצעות גבול מקבלים $f'(0)=0$ , אבל

$\lim _{x\to 0}f'(x)=\lim _{x\to 0}\left[2x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-\cos \left({\frac {1}{x}}\right)\right]\neq 0$

למעשה לנגזרת יש כאן נקודת אי-רציפות מסוג שני.

עם זאת, לא כל פונקציה יכולה להיות נגזרת, ולפונקציות שהן נגזרת של פונקציה אחרת יש "נטייה" מסוימת לרציפות. לדוגמה, הן מקיימות את מסקנת משפט ערך הביניים החל בדרך כלל רק על פונקציות רציפות: אם פונקציה גזירה בקטע סגור, הנגזרת שלה מקבלת כל ערך בין הערכים שהיא מקבלת בקצוות הקטע (זהו משפט דארבו).

תהי $f$ פונקציה גזירה בקטע. קבוצת נקודות אי-הרציפות של הנגזרת $f'$ היא קבוצה מקטגוריה ראשונה במובן בייר, כלומר מוכלת באיחוד בן מניה של קבוצות דלילות (קבוצות דלילות הן כאלה שאין להן נקודות הצטברות). הסיבה לכך היא שהנגזרת היא הגבול הנקודתי של סדרת הפונקציות הרציפות $f_{n}(x)=n{\bigl (}f{\bigl (}x+{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}-f(x){\bigr )}$ (ראו סדרת פונקציות), וקבוצת נקודות אי-הרציפות של פונקציה כזו היא תמיד מקטגוריה ראשונה (לפי משפט הקטגוריה של בייר). בפרט, קבוצת נקודות הרציפות של הנגזרת צפופה בקטע.

לנגזרת לא יכולה להיות אי-רציפות מסוג קפיצה: אם $f'$ אינה רציפה בנקודה, אז אין לה גבול שם.

ערך הנגזרת בנקודה

נקודות קיצון

אחד השימושים הבולטים לנגזרת הוא באיתור נקודות קיצון (מקסימום או מינימום מקומי). משפט פרמה קובע שהנגזרת (כאשר היא קיימת) חייבת להתאפס בכל נקודת קיצון. ההפך אינו בהכרח נכון – נגזרת יכולה להיות שווה לאפס גם בנקודה שאינה מקסימום או מינימום, אלא נקודת פיתול או אחרת.

במקרים של פונקציה הגזירה מספר רב של פעמים, ניתן לקבוע את טיב הנקודה החשודה לפי הנגזרת הראשונה שאינה מתאפסת (אם זו קיימת). אם הנגזרת הראשונה שאינה מתאפסת היא מסדר זוגי אזי מדובר בנקודת קיצון, ואילו אם זו נגזרת מסדר אי-זוגי מדובר בנקודת פיתול.

דוגמאות:

• לפונקציה $y=(x-1)^{2}$ יש מינימום בנקודה $x=1$ , שבה הנגזרת שווה ל-0.
• לפונקציה $y=-x^{2}$ יש מקסימום בנקודה $x=0$ , שבה הנגזרת שווה ל-0.
• לפונקציה $y=x^{3}$ יש נקודת פיתול בנקודה $x=0$ , שבה הנגזרת שווה ל-0.
• לפונקציה $y=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$ יש נגזרת השווה ל-0 בנקודה $x=0$ אך זו אינה נקודת קיצון ואף לא נקודת פיתול. נרחיב בעניין זה:

נגדיר את הפונקציה:

$$f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)&:x\neq 0\\0&:x=0\end{cases}}$$

פונקציה זו רציפה באפס (מכפלה של פונקציה חסומה בפונקציה השואפת לאפס), היא גם גזירה באפס:

$$f'(0)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(0)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h^{2}\sin \left({\frac {1}{h}}\right)-0}{h}}=0$$

אולם אפס אינה נקודת קיצון: נגדיר $x_{n}={\frac {1}{2\pi n+{\frac {\pi }{2}}}},y_{n}={\frac {1}{2\pi n+{\frac {3\pi }{2}}}}$ , אזי $f(x_{n})>0\,f(y_{n})<0$ . מכאן שבכל סביבה של אפס יש אינסוף נקודות בהן הפונקציה חיובית, ואינסוף נקודות בהן הפונקציה שלילית, ולכן אפס אינה יכולה להיות נקודת קיצון (לו אפס הייתה נקודת מקסימום או מינימום, הייתה סביבה סביב 0 בה הפונקציה קטנה או גדולה מאפס, בהתאמה). אפס גם אינה נקודת פיתול, שכן נקודת פיתול היא נקודה שבה המשיק לגרף הפונקציה נמצא מצד אחד מעל הפונקציה, ובצד השני מתחת לפונקציה. במקרה זה המשיק הוא $y=0$ (ציר $x$), ואותו טיעון כמו קודם מראה שאין חצי סביבה של אפס שבה הפונקציה כולה מתחת או מעל לציר $x$ . כלומר, אף על פי שהנגזרת היא אפס, הנקודה אינה נקודת קיצון, ואינה נקודת פיתול.

הערות נוספות על הפונקציה:

• אם נגזור אותה, נקבל כי הנגזרת היא:

$$f'(x)={\begin{cases}2x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-\cos \left({\frac {1}{x}}\right)&:x\neq 0\\0&:x=0\end{cases}}$$

כלומר הנגזרת אינה רציפה באפס (זוהי אי-רציפות מן הסוג השני, כפי שמבטיח משפט דארבו).

• דוגמה מעניינת נוספת היא הפונקציה:

$$g(x)=f(x)+x^{2}={\begin{cases}x^{2}{\bigl (}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)+1{\bigr )}&:x\neq 0\\0&:x=0\end{cases}}$$

זוהי פונקציה רציפה וגזירה. לפונקציה זו יש מינימום מקומי באפס, אבל בניגוד לאינטואיציה אין חצי סביבה שמאלית של אפס שבה הפונקציה מונוטונית יורדת, ואין חצי סביבה ימנית של אפס שבה הפונקציה מונוטונית עולה.

ערך ממוצע והכללות

לפי משפט רול, אם פונקציה גזירה בקטע פתוח, רציפה בקצותיו וערכיה בקצותיו שווים, הנגזרת שלה מתאפסת בתוך הקטע.

משפט לגראנז' מכליל את משפט רול: אם פונקציה גזירה בקטע פתוח ורציפה בקצותיו, יש נקודה בתוך הקטע שהנגזרת בה שווה לשיפוע המיתר המחבר את שתי נקודות הקצה של הפונקציה. משפט הערך הממוצע של קושי מכליל משפט זה.

הכללות

נגזרות חד-צדדיות

ניתן להגדיר גם נגזרת מימין ונגזרת משמאל. הנגזרות החד-צדדיות מוגדרות על ידי הגבולות:

${\begin{aligned}f'_{+}(x)&=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\f'_{-}(x)&=\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\end{aligned}}$

כלומר חישוב הגבול נעשה רק בסביבה ימנית או בסביבה שמאלית של הנקודה.

הערות:

• לפונקציית הערך המוחלט $f(x)=|x|$ אין נגזרת ב-0 אולם שתי הנגזרות החד-צדדיות קיימות: $f'_{+}(0)=1,f'_{-}(0)=-1$
• פונקציה היא גזירה בנקודה אם ורק אם קיימות באותה נקודה שתי הנגזרות החד-צדדיות, והן שוות.
• לפונקציה קמורה המוגדרת בקטע פתוח יש נגזרות חד-צדדיות בכל נקודה בקטע.

נגזרת של פונקציה מרוכבת

ניתן להגדיר נגזרת של פונקציה מרוכבת $f(z)$ בנקודה $z_{0}\in \mathbb {C}$ , בדיוק כפי שמגדירים נגזרת לפונקציה ממשית, באמצעות הגבול $\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}$ . בניגוד לגבול בפונקציות ממשיות, הגבול כאן נלקח כאשר $\Delta z\to 0$ במישור המרוכב, ולא לאורך הציר הממשי.

אף על פי שאפשר לראות את $f$ גם כפונקציה $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ , הנגזרת המרוכבת שונה מן הנגזרת הממשית (של פונקציה בשני משתנים), וקיומה הוא תנאי חזק יותר. תנאי הכרחי ומספיק לקיומה של נגזרת מרוכבת נתון במשוואות קושי-רימן.

נגזרות בפונקציות של כמה משתנים

בפונקציות של כמה משתנים, מושג הגזירות של פונקציה מוחלף במושג הדיפרנציאביליות שלה, שפירושו שקיים לפונקציה קירוב לינארי. מושג זה מתלכד עם מושג הגזירות בפונקציות של משתנה יחיד. בנוסף לכך, כאשר גוזרים פונקציה של כמה משתנים על פי משתנה יחיד, ומתייחסים לשאר המשתנים כקבועים, הנגזרת המתקבלת נקראת נגזרת חלקית של הפונקציה. מושגי הדיפרנציאביליות והנגזרות החלקיות קשורים ביניהם בקשר הדוק – נגזרת חלקית של פונקציה לפי אחד המשתנים יכולה להיות קיימת או לא (כמו שפונקציה של משתנה אחד יכולה להיות גזירה או לא) אבל מושג הדיפרנציאביליות של פונקציה עם יותר ממשתנה אחד הוא מושג חזק יותר מקיום של נגזרות חלקיות. כלומר: אפילו אם לפונקציה עם כמה משתנים קיימות כל הנגזרות החלקיות שלה אין זה אומר בהכרח שהיא דיפרנציאביליות, אבל אם היא דיפרנציאביליות אז בהכרח קיימות כל הנגזרות החלקיות שלה.

נגזרת פורמלית

ערך מורחב – נגזרת (אלגברה)

ניתן לנצל את תכונות הנגזרת גם במבנים אלגבריים כללים, בהם לא ניתן לגזור פונקציות באופן הרגיל (על ידי גבולות). לדוגמה, בשדות כלשהם, אפילו ממאפיין שונה מ-0, ניתן להגדיר את פעולת הנגזרת על הפולינומים כאופרטור לינארי שמקיימת לכל $n$ טבעי $(x^{n})'=nx^{n-1}$ . ניתן להראות שהנגזרת הפורמלית כמו שהוגדרה מקיימת את התכונות הבסיסיות של הנגזרת הרגילה (לינאריות, כלל המכפלה, וכלל השרשרת), ובנוסף מאפשרת בחינה נוחה של תכונות מסוימות של פולינומים. למשל, כדי לבדוק האם פולינום נתון הוא ספרבילי, די לבדוק שהוא זר לנגזרת הפורמלית שלו.

ראו גם

• כלל לופיטל – כלל יעיל לחישוב גבול של מנה של שתי פונקציות השואפות שתיהן לאפס או אינסוף, על ידי חישוב גבול המנה של הנגזרות שלהן.
• נגזרת חלשה

קישורים חיצוניים

• מחשבון נגזרות
• דוידסון אונליין – למידה מתוקשבת: נגזרות ואינטגרלים – לא כל כך נורא יישומון עם הסברים.
• גדי אלכסנדרוביץ', אז מה זו נגזרת?, באתר "לא מדויק",

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0