נגזרת חלקית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בחשבון אינפיניטסימלי, נגזרת חלקית של פונקציה רבת־משתנים היא נגזרת של הפונקציה באחד ממשתניה, כאשר מתייחסים לשאר המשתנים כאל קבועים.

סימן הנגזרת החלקית הוא האות d המעוגלת, המכונה לעיתים "דוֹ".

סימונים מקובלים נוספים לנגזרת החלקית על פי הם וכן כאשר הוא אופרטור גזירה חלקית לפי המשתנה .

הגדרה פורמלית

תהא פונקציה ב־ משתנים. נסמן את הנגזרת החלקית של על פי בעזרת הסימון , והיא תוגדר כך:

דוגמאות

  1. נתבונן בפונקציה . אם מסתכלים על הפונקציה בתור פונקציה של בלבד כאשר קבוע, זוהי פונקציית פולינום. לעומת זאת, כאשר מסתכלים עליה בתור פונקציה של כאשר בתור קבוע, זוהי פונקציה מעריכית. על כן, הנגזרות החלקיות שלה הן:
  2. נתבונן בפונקציה . לכאורה זוהי פונקציה במשתנה אחד, אך ניתן גם להתייחס אליה כפונקציה מרובת משתנים, כאשר היא קבועה לכל משתנה שאינו . על כן, הנגזרות החלקיות שלה הן:

שימושים

באנליזה וקטורית ובפיזיקה הנגזרת החלקית משמשת לאנליזה מתמטית של פונקציות המוגדרות מעל מרחב וקטורי, ומציאת תכונות שונות של אותן פונקציות. נגזרת חלקית משמשת לכתיבת משוואות דיפרנציאליות חלקיות. בדרך כלל הנגזרות החלקיות יצורפו לאופרטור דיפרנציאלי, כמו גרדיאנט, דיברגנץ או רוטור.

  • הגרדיאנט של פונקציה בנקודה מסוימת הוא וקטור הנגזרות החלקיות שלה באותה נקודה. הגרדיאנט בנקודה כלשהי יוגדר כך:
  • הדיברגנץ של פונקציה וקטורית ב- הוא פונקציה ב- המודדת את קצב השינוי במאונך לצירים. במערכת צירים קרטזית הדיברגנץ הוא מכפלה פנימית בין אופרטור הגראדיאנט לפונקציה הווקטורית:
  • הרוטור הוא גודל דיפרנציאלי המודד את נטייתו של שדה וקטורי להסתובב סביב נקודה מסוימת. במערכת קרטזית:

ראו גם


Logo hamichlol 3.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0