נוסחת קרמר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
גרסה מ־10:22, 3 בנובמבר 2019 מאת יהודה שמחה ולדמן (שיחה | תרומות) (ביטול גרסה 791581 של תנא קמא (שיחה) הקידוד שלי מתומצת ופועל. אין צורך ”לעדכן”)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה לינארית, נוסחת קרמר (או כלל קרמר, על שם המתמטיקאי השווייצרי גבריאל קרמר) היא נוסחה מפורשת לפתרון מערכת משוואות לינאריות בעזרת דטרמיננטות.

מבחינה חישובית הנוסחה אינה יעילה, אך יש לה חשיבות כיוון שהיא נותנת ביטוי חד־משמעי של פתרון המערכת, מה שגם מאפשר להוכיח תכונות של מטריצות ודטרמיננטות. כך למשל הנוסחה מספקת ביטוי מפורש לאבר הכללי של מטריצה הפוכה, באופן שנובע ממנו כי מטריצה היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מ־0.

נוסחת קרמר

כידוע מאלגברה לינארית, למערכת משוואות ריבועית (כלומר, מספר המשתנים שווה למספר המשוואות) המיוצגת על ידי , כאשר מטריצה ריבועית ו־ הוא וקטור עמודה, קיים פתרון יחיד אם ורק אם .

על פי נוסחת קרמר, הרכיב ה־ של וקטור הפתרון נתון על ידי

כאשר המטריצה המתקבלת על ידי החלפת העמודה ה־ שבמטריצה בווקטור .

דוגמה

נתונה מערכת המשוואות

כלומר המערכת מיוצגת על ידי המטריצה והווקטור .

נחשב את הדטרמיננטות:

והפתרון נתון על ידי

הוכחה

בעזרת התכונות של פונקציית נפח

נניח כי נתונה המערכת . נסמן את עמודות המטריצה . הטענה כי הווקטור פותר את המערכת היא בעצם הטענה כי

נחשוב על הדטרמיננטה כעל פונקציית נפח, המקבלת כארגומנטים את עמודות המטריצה:

הדטרמיננטה מתקבלת מהחלפת העמודה ה־ בעמודה . כלומר:

מכיוון שהדטרמיננטה, כפונקציית נפח, היא לינארית בכל רכיב, מתקבל

ומתכונת פונקציית הנפח, לכל מתקיים כי ולכן נותרנו עם

ולכן .

בעזרת הרחבת המטריצה

נניח כי נתונה מערכת לא הומוגנית:

כאשר הוא וקטור הפתרון (היחיד) של המערכת. לחישוב האבר ה־ של , נוסיף למערכת משוואה אחת, כך:

כאשר בשורה התחתונה במטריצה כל האברים הם אפס, פרט לעמודה ה־ ולעמודה ה־. מכיוון שהווקטור פותר את המערכת, קל לראות על ידי העברת אגפים כי הווקטור המורחב פותר את המערכת המורחבת, שהיא כעת מערכת הומוגנית. טענה מאלגברה לינארית אומרת כי למערכת משוואות הומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי אם ורק אם הדטרמיננטה מתאפסת. הווקטור המורחב אינו וקטור האפס והוא פותר את המערכת, ולכן הדטרמיננטה של המטריצה המורחבת חייבת להתאפס. נפתח את הדטרמיננטה לפי השורה התחתונה, ונשים לב כי המינור ה־ הוא פשוט הדטרמיננטה של המטריצה מוכפל בגורם , מכיוון שלצורך הבאת העמודה האחרונה למקום ה־ יש לבצע על העמודות תמורה שהיא מחזור באורך . בנוסף, מהנוסחה לפיתוח המינור יש להכפיל בגורם ולכן מתקבל:

כלומר .


Logo hamichlol 3.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0