סדרה חשבונית

במתמטיקה, סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים, שבה ההפרש בין כל שני אברים עוקבים הוא קבוע: $\ a_{n+1}-a_{n}=d$ .

למשל, בסדרה 3, 5, 7, 9, 11, ..., ההפרש בין כל שני אברים עוקבים הוא קבוע – 2.

סדרה חשבונית מוגדרת באמצעות שלושה מאפיינים:

• $a_{1}$ – האבר הראשון בסדרה
• $d$ – ההפרש הקבוע בין (כל) שני אברים עוקבים בסדרה
• $n$ – מספר האברים בסדרה (שעשוי להיות סופי או אינסופי)

לפי מאפיינים אלה, ניתן לדעת מהו כל אחד מאברי הסדרה.

נוסחאות

נוסחה לאיבר הכללי

אם $a_{1}$ האבר הראשון ו־$d$ ההפרש, האבר ה־$n$ נתון על ידי הנוסחה: $a_{n}=a_{1}+d(n-1)$ .

הוכחה לנוסחת האבר הכללי: $(a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+\cdots +(a_{n-1}-a_{n-2})+(a_{n}-a_{n-1})=d\cdot (n-1)$

החלק השמאלי של השוויון האחרון הוא טור טלסקופי, שבו כל האיברים מבטלים אחד את השני למעט שניים:

${\begin{aligned}-a_{1}+a_{n}=d(n-1)\\a_{n}=a_{1}+d(n-1)\end{aligned}}$

נוסחה לסכום הסדרה

ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האבר ה־$n$ (כולל) לפי הנוסחה:

$S_{n}={\frac {n{\bigl [}2a_{1}+d(n-1){\bigr ]}}{2}}$

בסדרה חשבונית, כל איבר מהווה ממוצע חשבוני של האברים הקודם והעוקב לו:

$a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}$

ומכאן שְׁמָהּ (בדומה לסדרה הנדסית ולסדרה ההרמונית).

הוכחה לנוסחת הסכום:: את סכום $n$ האברים הראשונים בסדרה $S_{n}=a_{1}\cdots +a_{n}$ ניתן לרשום בשני אופנים:

${\begin{aligned}S_{n}&=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +{\bigl (}a_{1}+d(n-2){\bigr )}+{\bigl (}a_{1}+d(n-1){\bigr )}\\S_{n}&={\bigl (}a_{n}-d(n-1){\bigr )}+{\bigl (}a_{n}-d(n-2){\bigr )}+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}\end{aligned}}$

נחבר בהתאמה את האגפים של שני השוויונות האלה, ולאחר שאברים שווי ערך אך שוני סימן יבטלו זה את זה נקבל:

${\begin{aligned}2S_{n}&=n(a_{1}+a_{n})\\S_{n}&={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}\end{aligned}}$

הצבת הנתון $a_{n}=a_{1}+d(n-1)$ בנוסחת הסכום האחרונה תיתן

$S_{n}={\frac {n{\bigl [}2a_{1}+d(n-1){\bigr ]}}{2}}$

נוסחאות נוספות

ההפרש בין סכום האברים הזוגיים לבין סכום האברים האי־זוגיים הוא $S_{\text{even}}-S_{\text{odd}}={\frac {nd}{2}}$ .

הוכחת הנוסחה:

נתונה סדרה $a_{1},\ldots ,a_{n}$ , כאשר מספר האברים הוא זוגי והאבר האחרון הוא $a_{n}$ (כלומר, יש $n=2m$ אברים בסדרה). נחשב את סכום האברים הזוגיים והאי־זוגיים על פי נוסחת הסכום.

מכיוון שמספר האברים הוא זוגי, אז מספר האברים שמיקומם (האינדקס שלהם) זוגי שווה למספר האברים שמיקומם אי־זוגי, כלומר ישנם $m$ אברים שמקומם זוגי ו־$m$ איברים שמקומם אי־זוגי.

${\begin{aligned}S_{\text{even}}&={\frac {m{\bigl [}2a_{2}+2d(m-1){\bigr ]}}{2}}=ma_{1}+m^{2}d\\S_{\text{odd}}&={\frac {m{\bigl [}2a_{1}+2d(m-1){\bigr ]}}{2}}=ma_{1}+m^{2}d-md\\S_{\text{even}}-S_{\text{odd}}&=md={\frac {nd}{2}}\end{aligned}}$

דוגמאות

הדגמה ציורית של הנוסחה הראשונה (ראו ערך מספר ריבועי)

• סכום הסדרה החשבונית 1, 3, 5, ... בעלת $n$ אברים הוא $n^{2}$ .
• סכום הסדרה החשבונית 2, 4, 6, ... בעלת $n$ אברים הוא $n(n+1)$ .

ראו גם

• סדרה
• סדרה הנדסית
• טור (מתמטיקה)
• אינדוקציה מתמטית

קישורים חיצוניים

• סיכום על סדרות חשבוניות, מתוך סיכומונה
• סדרה חשבונית, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0