עץ (תורת הגרפים)

בעץ שבתמונה יש 6 צמתים, ולכן 5=6-1 קשתות. המסלול הפשוט היחיד שמחבר את צמתים 2 ו-6 הוא 2-4-5-6.

בתורת הגרפים, עץ הוא גרף קשיר ללא מעגלים. מלבד התפקיד של עצים בתורת הגרפים, כגרפים הקשירים המינימליים, ובטופולוגיה כמודל למרחב היפרבולי, עצים הנושאים מידע נוסף מהווים משפחה חשובה של מבני נתונים.

לעץ יש "ענפים" – קשתות הגרף, ו"עלים" – הצמתים הקיצוניים. עץ שבו בוחרים ומסמנים את אחד הקודקודים נקרא עץ עם שורש, ואז אפשר לראות אותו כצומח ועולה מן השורש הזה, כמו אילן יוחסין – לכל קודקוד פרט לשורש יש "הורה" (הקודקוד שבא מיד לפניו בדרך מן השורש) ו"בנים" (הקודקודים שבאים מיד אחריו כשמתרחקים מן השורש). בתמונה מוצג עץ שהשורש שלו הוא צומת 6, והעלים שלו הם הצמתים 1, 2 ו־3.

הגדרות שקולות

יהי G גרף לא מכוון פשוט (ללא קשת מקודקוד לעצמו). כל התנאים הבאים יכולים לשמש כהגדרות לעץ:

• G הוא גרף קשיר ואין בו מעגל פשוט.
• ב-G אין מעגל פשוט, אך אם נוסיף לו קשת אחת, יווצר בו מעגל פשוט.
• G הוא גרף קשיר, אך אם נגרע ממנו קשת אחת, יפסיק להיות קשיר.
• בין כל שני צמתים ב-G מקשר מסלול פשוט יחיד.

אם ל-G יש מספר סופי (שנסמנו n) של צמתים, אז התנאים דלעיל שקולים גם לתנאים:

• G הוא גרף קשיר ויש בו n-1 קשתות.
• ב-G אין מעגל פשוט, ויש בו n-1 קשתות.

מושגים

שורש – בגרפים מכוונים, שורש הוא צומת שקיים מסלול ממנו לכל צומת אחר בגרף.

עץ מושרש – עץ שקיים בו שורש.

עומק של צומת – מספר הקשתות במסלול בין השורש לצומת.

אב ובן – צומת $v$ הוא האב של $w$ וw הוא הבן של $v$ אם ורק אם ישנה קשת ביניהם ומספר הקשתות במסלול בין $v$ לשורש הוא קטן יותר (באחד), מהעומק של $w$ .

עלה - צומת שאין לו בנים. הגדרה מקבילה: צומת שהדרגה שלו היא 1.

קודקוד פנימי – צומת שיש לו בנים.

אב קדמון וצאצא – צומת $v$ הוא האב הקדמון של $w$ ו-$w$ הוא הצאצא של $v$ אם ורק אם $w$ הוא הבן של $v$ או ש-$w$ הוא בן של צאצא קדמון של $v$ .

גובה של צומת – המספר הגבוה ביותר של קשתות במסלול מבין המסלולים שעוברים בין הצומת לכל אחד מהצאצאים שלו.

גובה העץ – הגובה של השורש.

תת עץ – בהינתן עץ $T$ , תת-עץ שלו הוא עץ שצמתיו הם צומת $v$ והצאצאים שלו מהעץ $T$ כאשר $v$ הוא שורשו. הקשתות של תת-העץ הם הקשתות מהעץ $T$ שעוברות בין הצאצאים והקשתות בין הצאצאים ל$v$ .

יער – גרף חסר מעגלים. ניתן לראות יער בתור איחוד זר של עצים (ומכאן שמו).

גרף מכוון ייקרא עץ אם גרף התשתית שלו הוא עץ וניתן לסמן אחד מהצמתים של העץ כשורש העץ, כך שיש מסלול מהשורש לכל צומת בעץ. בהינתן עץ לא מכוון, ניתן להפוך אותו לעץ מכוון על ידי בחירה שרירותית של אחד הצמתים בתור שורש, ובחירת הכיוון שעל הקשתות בצורה שתאפשר מעבר מהשורש לכל צומת בעץ.

עץ המוכל בגרף $G$ וכולל את כל הצמתים שלו נקרא עץ פורש של $G$ .

עץ בינארי

ערך מורחב – עץ בינארי

עץ ייקרא עץ בינארי אם הוא מקיים את כל התכונות הבאות:

• העץ מכוון.
• דרגת היציאה של כל קודקוד בעץ היא לכל היותר 2 (במילים אחרות: לכל צומת יש לא יותר משני צאצאים – צמתים שיש קשת ממנו אליהם).
• קיים קודקוד אחד ויחיד שדרגת הכניסה שלו היא 0 (קודקוד זה ייקרא שורש העץ).

ראו גם

• מבנה נתונים
• תרשים עץ (הסתברות)

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא עץ בוויקישיתוף