עקרון ההכלה וההפרדה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
גרסה מ־12:04, 9 באוגוסט 2019 מאת משתמש ישן (שיחה | תרומות) (עידכון מויקיפדיה גירסה 25202440)
(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

עקרון ההכלה וההדחה (או עקרון ההכלה וההפרדה) הוא עקרון קומבינטורי שלפיו, כדי לספור עצמים בקבוצה, אפשר לכלול ולהוציא את אותו עצם שוב ושוב, כל עוד בסוף ההליך נספר כל עצם פעם אחת. עקרון פשוט זה מתורגם לנוסחה מעט מורכבת, שיש לה שימושים וגרסאות רבות בכל ענפי הקומבינטוריקה. המקרה הפשוט ביותר מתייחס לספירת עצמים המקיימים אחת משתי תכונות: מספר העצמים שהם גדולים או אדומים שווה למספר העצמים הגדולים ועוד מספר העצמים האדומים, פחות מספר העצמים שהם גם גדולים וגם אדומים; האחרונים נספרו בשלב הראשון פעמיים, ואז הוצאו מהחשבון על-מנת לאזן אותו כראוי. בכתיב מתמטי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B|} , כאשר A היא קבוצת העצמים האדומים ו-B היא קבוצת העצמים הגדולים.

במקרה הכללי, העקרון קובע שגודל האיחוד של כמה קבוצות שווה לסכום מתחלף: סכום הגדלים של כל הקבוצות, פחות סכום הגדלים של חיתוכים של שתי קבוצות, ועוד סכום הגדלים של חיתוכים של שלוש קבוצות, פחות סכום הגדלים של חיתוכים של ארבע קבוצות, וכן הלאה.

כוחו של עקרון ההכלה וההדחה בכך שהוא מאפשר להמיר בעיה קומבינטורית מסובכת הדורשת ניתוח של האינטראקציות בין כל הקבוצות בבת-אחת, בבעיות קלות יותר שבהן מספיק לספור את האיברים השייכים לקבוצות מסוימות, בלי שיהיה צורך לבדוק את מעמדם של האיברים האלה ביחס לשאר הקבוצות.

ניסוח העקרון

תהיינה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_1,\dots,A_n} קבוצות סופיות. אז גודל האיחוד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |A_1 \cup \cdots \cup A_n|} שווה לסכום המתחלף הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum_i |A_i| - \sum_{i<j} |A_i \cap A_j| + \sum_{i<j<k} |A_i \cap A_j \cap A_k| \mp \cdots} , כלומר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |\cup A_i| = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n}|A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k}|} . אם מסכימים שחיתוך אפס קבוצות שווה למרחב כולו, אפשר לקבל נוסחה אלגנטית למספר האיברים שמחוץ לאיחוד: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |\Omega - \cup A_i| = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n}|A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k}|} .

במקרים רבים גודל החיתוך של כל k קבוצות הוא קבוע, ואז מתקבלת נוסחה פשוטה יותר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |\Omega - \cup A_i| = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \binom{n}{k}|A_1\cap \cdots \cap A_{k}|} .

דוגמאות

נוסחת ההכלה וההדחה לגודל האיחוד של שלוש קבוצות היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |A\cup B \cup C| = |A|+|B|+|C| - |A\cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + | A \cap B \cap C|} .

נראה כיצד ניתן לחשב את מספר התמורות על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} איברים שבהן אף איבר אינו נשאר במקומו. כדי להפעיל את עקרון ההכלה וההדחה, נסמן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_i} את קבוצת התמורות שבהן האיבר ה-i דווקא נשאר במקומו. השאלה היא כמה תמורות נמצאות מחוץ לכל הקבוצות, ומכיוון שמספר התמורות הכללי הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n!} , די לספור כמה תמורות שייכות לקבוצה אחת לפחות; כלומר, לחשב את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |A_1 \cup \cdots \cup A_n|} . בחיתוך של k קבוצות נמצאות התמורות שמשאירות את k האיברים המתאימים במקומם, בלי קשר לשאלה מה הן עושות בשאר האיברים. לכן גודל החיתוך הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k}| = (n-k)!} , וזאת לכל אחת מ- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{n!}{k!(n-k)!}} הבחירות של האיברים השונים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i_1<\cdots<i_k} . לפי עקרון ההכלה וההדחה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n!-|A_1 \cup \cdots \cup A_n| = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}\frac{n!}{k!(n-k)!}|A_{1}\cap \cdots \cap A_{k}| = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{n!}{k!} = n!\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k!}} . הסיכוי שתמורה אקראית תהיה שייכת לקבוצה הזאת הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}} , שהוא קירוב טוב מאד למספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{-1}} .

הוכחת העקרון

כדי להוכיח את השוויון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |\Omega - \cup A_i| = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n}|A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k}|} , נבדוק כמה פעמים נספר איבר x בשני האגפים. אם x אינו שייך לאף קבוצה, אז הוא נספר פעם אחת באגף שמאל, ופעם אחת (במסגרת החיתוך הריק, עבור k=0) באגף ימין. אחרת, נניח שהוא שייך בדיוק ל-m קבוצות, ומטעמי סימטריה אפשר להניח שאלו הן הקבוצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_1, \cdots,A_m} ; בפרט, x אינו שייך לקבוצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_{m+1},\dots,A_n} . במקרה כזה האיבר נספר באגף ימין בדיוק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq m}1 = \sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}\frac{m!}{k!(m-k)!} = (1-1)^m = 0} פעמים לפי נוסחת הבינום של ניוטון, בדיוק כמו באגף שמאל.

ראו גם

קישורים חיצוניים

  • עקרון ההכלה וההפרדה, באתר MathWorld (באנגלית)   המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.
Logo hamichlol 3.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0