עקרון הויגנס

שבירת גלים על פי עקרון הויגנס

עקרון הויגנס (ידוע גם כעקרון הויגנס-פרנל) קובע כי ניתן להתייחס לכל נקודה בחזית גל כמקור נקודתי של גל חדש: כל נקודה שמופרעת על ידי מעבר של גל דרכה הופכת למקור של גל כדורי, וההתאבכות של כל הגלים הכדוריים היא הגל הכולל המתקדם במרחב. העקרון נוסח על ידי כריסטיאן הויגנס ואוגוסטן ז'אן פרנל. על עקרון זה מבוסס הניתוח המתמטי של תופעת העקיפה כמו בניסוי שני הסדקים של תומאס יאנג. באמצעות עקרון זה ניתן גם להסביר תופעות התאבכות נוספות ושבירה.

עקיפה

עקיפה בסדק יחיד

בניסויי עקיפה, גל מישורי פוגע במחסום בעל מיפתח בצורה כלשהי, ונמדדת תבנית הגל על מסך שנמצא בעברו השני של המחסום. לפי עקרון הויגנס, התבנית המתקבלת זהה לזו שמתקבלת מאוסף של מקורות נקודתיים הממלאים את המפתח. כתוצאה מכך מגיע הגל גם לאזורים שמעבר למחסום, אזורים שבהם לפי אופטיקה גאומטרית לא מגיעות קרניים הנעות בקווים ישרים.

תיאור מתמטי

המשוואה שמקיים גל ממקור נקודתי היא משוואת הלמהולץ הלא-הומוגנית:

$\nabla ^{2}U+k^{2}U({\vec {r}},{\vec {r'}})=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}})$

כאשר $\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}})$ היא פונקציית דלתא של דיראק התלת-ממדית, המתאפסת בכל המרחב פרט לנקודה ${\vec {r}}={\vec {r'}}$. הגל המונוכרומטי התלוי בזמן שפותר את משוואת הגלים מתקבל על ידי הכפלת $U({\vec {r}},{\vec {r'}})$ בפונקציה $\ e^{-i\omega t}$. מאחר שפונקציית דלתא תלויה רק במרחק מהראשית ולא בזווית המרחבית, לאחר החלפת המשתנים ${\vec {R}}={\vec {r}}-{\vec {r'}}$ ניתן להשתמש רק בחלק הרדיאלי של אופרטור הלפלסיאן בקואורדינטות כדוריות:

$\nabla ^{2}U={\frac {1}{R}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial R^{2}}}(RU)$

כאשר $R=|{\vec {R}}|$. המשוואה הופכת להיות:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial R^{2}}}(RU)+k^{2}RU=R\delta ({\vec {R}})$

מאחר שהפונקציה R מתאפסת בנקודה היחידה שבה פונקציית דלתא איננה מתאפסת, אגף ימין של המשוואה מתאפס זהותית. פתרון המשוואה בקואורדינטות המקוריות הוא:

$U({\vec {r}},{\vec {r'}})\propto {\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}}e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}$

זהו גל כדורי הבוקע מהנקודה ${\vec {r'}}$. את קבוע הפרופורציה ניתן למצוא באמצעות תנאי שפה. בנוסף, הפונקציה שהתקבלה היא לפי הגדרה פונקציית גרין של המשוואה. לפי משפט גרין, גל שנוצר ממקור דו-ממדי שאינו נקודתי ניתן לחישוב באמצעות פונקציה זו על ידי האינטגרל המשטחי:

$U({\vec {r}})={\frac {k}{2\pi i}}\int \!\!\!\int U_{0}({\vec {r'}}){\frac {e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}}{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}}\cos \theta d^{2}r'$

כאשר $\ U_{0}$ מקור הגל, $\theta$ הזווית בין וקטור השטח האינפיניטסימלי לבין הווקטור ${\vec {r}}-{\vec {r'}}$ והאינטגרל הוא על המשטח המחולל את הגל. אינטגרל זה מבטא את הגל הנצפה כסופרפוזיציה של גלים כדוריים הבוקעים מנקודות שונות על פני משטח בפרט, אם במישור z=0 ניצב מחסום שלאחריו מתקבל הגל: $\ U(x,y,z=0)$, אז על מסך במרחק z מתקבלת תבנית העקיפה:

$U(x,y,z)={\frac {k}{2\pi i}}\int \!\!\!\int U(x',y',z=0){\frac {e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}}{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}}\cos \theta dx'dy'$

שבירה

כאשר גל מישורי פוגע במישור הפרדה בין שני חומרים, הוא מעורר אוסף של גלים כדוריים ממקורות נקודתיים שממלאים את מישור ההפרדה. מהירות האור בחומר דיאלקטרי יחסית למקדם השבירה שלו. לכן, אם שני החומרים הם בעלי מקדמי שבירה שונים חצי הכדור המתפשט לעבר החומר האחד יתקדם במהירות שונה מאשר חצי הכדור המתפשט לעבר החומר האחר. כתוצאה מכך תיווצר זווית בין הכיוון המאונך לחזית הגל הפוגע לבין זה של הגל הנשבר, אותה ניתן לחשב משיקולים גאומטריים ולקבל את חוק סנל.

לקריאה נוספת

• Joseph W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, 2nd edition, McGraw-Hill, 1996, Chapter 3

קישורים חיצוניים

• יישום ג'אווה המדגים החזרה ושבירה לפי עקרון הויגנס