פונקציה חלקה

באנליזה מתמטית, פונקציה חלקה היא פונקציה שגזירה אינסוף פעמים, כלומר לכל n טבעי הנגזרת ה-n-ית קיימת.

קבוצת כל הפונקציות החלקות מסומנת $\,C^{\infty }$. הסימון הזה הוא חלק מסימון כללי יותר:

• את קבוצת כל הפונקציות הרציפות מסמנים $\ C^{0}$ או רק $\ C$ (לפעמים עם ציון התחום שעליו הפונקציות מוגדרות).
• לכל n טבעי מסמנים ב $\ C^{n}$ את קבוצת כל הפונקציות שגזירות n פעמים בכל נקודה בתחום, ושהנגזרת ה-n-ית שלהן רציפה על כל התחום.

הקבוצה $\,C^{\infty }$ מוגדרת להיות החיתוך של כל הקבוצות $\ C^{n}$, כלומר $f\in C^{\infty }$ אם ורק אם $\ f\in C^{n}$, לכל $n\in \mathbb {N}$.

תכונות בסיסיות

• אם f פונקציה חלקה אז גם הנגזרת של f חלקה. יתר על כן, קל לראות ש- $\,C^{\infty }$ היא הקבוצה המקסימלית שבה פעולת הגזירה היא באמת אופרטור (כלומר לכל $f\in C^{\infty }$ קיימת נגזרת, ${\frac {df}{dx}}$, והיא בתוך $\,C^{\infty }$).
• אם f,g פונקציות חלקות אז גם הסכום, המכפלה וההרכבה שלהן חלקות.
• כל פונקציה אנליטית היא פונקציה חלקה (ובפרט כל הפונקציות האלמנטריות הן חלקות בכל תחום הגדרתן) אבל לא להפך.

לרב השימושים באנליזה מספיקות פונקציות גזירות פעמיים או שלוש אבל נוהגים להשתמש בפונקציות חלקות כדי לפשט את הניסוח של ההגדרות והמשפטים.

הפונקציות החלקות הן מאד "גמישות". לדוגמה ניתן לבנות פונקציה חלקה ששווה ל-1 על קבוצה סגורה A, ומתאפסת מחוץ לסביבה פתוחה של A, כאשר גם את A וגם את הסביבה הפתוחה אפשר לבחור כרצוננו. דבר כזה הוא בלתי אפשרי בפונקציות אנליטיות כי אם פונקציה אנליטית מתאפסת על קטע סגור כלשהו אז היא זהותית אפס. בדומה, ניתן לבנות חלוקות יחידה חלקות, אך לא ניתן לבנות חלוקות יחידה אנליטיות. על ידי פונקציות כאלו ניתן לבנות לכל פונקציה רציפה פונקציה חלקה שקרובה אליה כרצוננו.

ראו גם

• פונקציה אנליטית