פעולה טרנזיטיבית

בתורת החבורות, פעולה טרנזיטיבית היא סוג מיוחד של פעולה של חבורה על קבוצה. נניח שהחבורה G פועלת על הקבוצה X. אם לכל שתי נקודות $\ x,y\in X$ קיים איבר $\ g\in G$ המעביר את x ל- y, אז הפעולה היא פעולה טרנזיטיבית.

במקרים רבים לקבוצה X יש מבנה נוסף (כגון אם X הוא גרף או מרחב מטרי). מן העובדה שקיימת חבורה G הפועלת על X באופן טרנזיטיבי (ושומרת על המבנה), כשלעצמה, נובע שכל הנקודות של X דומות זו לזו; במקרה כזה אומרים ש- X מרחב הומוגני (אם X הוא גרף, הוא נקרא גרף טרנזיטיבי).

פעולה טרנזיטיבית מתוארת באופן מלא על ידי המייצב של נקודה, שהוא תת-החבורה $\ G_{x}=\{g\in G:g(x)=x\}$. כל המייצבים צמודים זה לזה, והקבוצה X איזומורפית (כקבוצה עם פעולה של G) למרחב הקוסטים $\ G/G_{x}$. המייצב הוא תת-חבורה מקסימלית אם ורק אם הפעולה פרימיטיבית.

טרנזיטיביות מסדר גבוה

כאשר החבורה G פועלת על קבוצה X, היא פועלת מניה וביה גם על המכפלה הקרטזית של X עם עצמה, ובאופן כללי יותר על כל חזקה של X. הפעולה מוגדרת לפי $\ g(x_{1},\dots ,x_{k})=(g(x_{1}),\dots ,g(x_{k}))$, כלומר פעולה על כל רכיב בנפרד. גם אם מוציאים מהחזקה $\ X^{k}$ את האלכסון המוכלל ומשאירים רק את הקבוצה $\ X^{[k]}$ של הווקטורים באורך k שכל רכיביהם שונים זה מזה, קבוצה זו עדיין מצוידת בפעולה של G, המכלילה את פעולתה על הרכיבים.

אם G פועלת באופן טרנזיטיבי על $\ X^{[k]}$, אז הפעולה שלה על X היא פעולה k-טרנזיטיבית. ניסוח אחר: G פועלת k-טרנזיטיבית על X, אם לכל $\ x_{1},\dots ,x_{k}$ שונים זה מזה, ולכל $\ y_{1},\dots ,y_{k}$ שונים זה מזה, קיים איבר של החבורה המעביר $\ g(x_{i})=y_{i}$. אם יש בחבורה איבר יחיד g כנ"ל, אז הפעולה היא k-טרנזיטיבית חדה. כמובן שפעולה 3-טרנזיטיבית היא תכונה חזקה יותר מפעולה 2-טרנזיטיבית, וכן הלאה. (פעולה 2-טרנזיטיבית היא תמיד פרימיטיבית).

לדוגמה, הפעולה של החבורה הסימטרית $\ S_{n}$ על הקבוצה $\ \{1,\dots ,n\}$ היא פעולה n-טרנזיטיבית (חדה), בעוד שהפעולה של חבורת התמורות הזוגיות $\ A_{n}$ על אותה קבוצה היא (n-2)-טרנזיטיבית (חדה). כאשר $\ m<n-1$, הפעולה של $\ S_{n}$ היא m-טרנזיטיבית אבל אינה חדה.

פעולה על קבוצה אינסופית

פעולה על קבוצה אינסופית נקראת טרנזיטיבית במידה רבה (highly transitive) אם היא k-טרנזיטיבית לכל k, ו-oligomorphic אם לכל k יש מספר סופי של מסלולים של קבוצות בגודל k.

מיון של פעולות טרנזיטיביות

מתברר שפעולה נאמנה בעלת סדר טרנזיטיביות גבוה היא תופעה נדירה למדי בין החבורות הסופיות. ב-1873 הוכיח Jordan שהחבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי חד הן $\ S_{4},S_{5},A_{6}$ וחבורת מתיו $\ M_{11}$; שהחבורות היחידות הפועלות באופן 5-טרנזיטיבי חד הן $\ S_{5},S_{6},A_{7}$ וחבורת מתיו $\ M_{12}$, ושהחבורות היחידות הפועלות באופן k-טרנזיטיבי חד, עבור $\ k\geq 6$, הן $\ S_{k},S_{k+1},A_{k}$.

ב-1936 הראה Zassenhaus שהחבורות היחידות הפועלות באופן 3-טרנזיטיבי חד הן $\ \operatorname {PGL} _{2}(q)$ (לכל חזקת-ראשוני q), ו- $\ M(q)$ (לכל חזקת-ראשוני שהיא ריבוע אי-זוגי); $\ M(q)$ היא תת-חבורה של $\ \operatorname {PGL} _{2}(q)\cdot \langle \sigma \rangle$ המכילה את $\ \operatorname {PSL} _{2}(q)$.

כתוצאה ממיון החבורות הפשוטות הסופיות, ידוע היום שפרט לחבורות $\ S_{n}$ ו- $\ A_{n}$, החבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי הן ארבע מבין חמש חבורות מתיו (היינו: $\ M_{11}$ ו- $\ M_{23}$ הן 4-טרנזיטיביות, ו- $\ M_{12}$ ו- $\ M_{24}$ הן 5-טרנזיטיביות) .

ראו גם

• חבורת תמורות
• פעולה פרימיטיבית