פרדוקס

פרדוקס (מיוונית עתיקה: παράδοξος – פרדוקסוס) סדרה של טענות, שמוכיחה כי ידיעותיו או אמונותיו של האדם סותרות זו את זו. באופן כללי ניתן להגדיר את הפרדוקס כמושג או טענה, אשר הסיבה לאמיתותם הופכת בסופו של דבר להיות הסיבה להפרכתם, וחוזר חלילה.

פרדוקסים יכולים לשכנע אנשים וקהילות חוקרות לשפר את ידיעותיהם או לשנות את אמונותיהם. פרדוקסים יכולים להתברר גם כניסוחים שגויים של טענות, המציגים רק בעיה לכאורה.

הפרדוקס יכול לבטא סתירה חיצונית כאשר הוא סותר ידע או הנחה קודמים, או סתירה פנימית כאשר ממנו עצמו נובעים דבר והיפוכו.

הגעה לפרדוקס יכולה להיות טכניקה בתחומי ידע שונים. הגעה לפרדוקס בתורת הנאום, יכולה לשכנע את המאזינים, לנטוש את דעותיהם הקודמות.

פרדוקסים יכולים להוות סיבה לבחינה מחודשת של תורה מתמטית. לדוגמה, פרדוקס ראסל הביא לבחינה מחודשת של הגישה הנאיבית לתורת הקבוצות ולפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית.

פרדוקס השקרן: האם משפט זה הוא אמת או שקר?

הפרדוקס ביוון העתיקה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה.

מקור המילה פרדוקס הוא מיוונית עתיקה: para = ליד, מעבר; doxa = אמונה, דעה. המשמעות המקורית היא דבר שבמחשבה ראשונה נראה חסר מובן או בלתי אפשרי, אך לאחר עיון מעמיק מתברר שהוא נכון.

הפילוסוף זנון מאלאה השתמש בפרדוקסים על תנועה כדי להוכיח את תפיסת מורו - פרמנידס - על כך שהחושים מטעים אותנו, ויש להסתמך רק על המחשבה.

אצל סוקרטס הפרדוקסים מביעים את התוכן של תפיסתו המוסרית:

1. "המידה הטובה היא ידיעה".

2. "אין אדם עושה רע מדעתו".

הפרדוקס ככלי מדעי

פרדוקס יכול להתגלות בחיי היומיום, בסתירה לאמיתות הרווחות בציבור, או במסגרתן של תאוריות מדעיות, בסתירה למכלול הידע הקיים בהן.

בהשקפה נראה הפרדוקס כמטעה או מבלבל, אך לאמיתו של דבר נוטלים הפרדוקסים חלק חשוב במדע בפרט ובידע האנושי בכלל. נביעתו של פרדוקס מהנחה היא מן הדרכים הנפוצות להפרכתה של הנחה שגויה.

הפרדוקס מכריח אותנו לבחון מחדש את הידע שלנו, כדי לברר האם הסתירה נובעת מכשל סמוי בפרדוקס, כלומר הפרדוקס אינו נכון ואין כל סתירה, או שהפרדוקס מצביע על טעות בהנחות היסוד שלנו, ולכן עלינו לשנותן. הבהיר זאת פרופ' אסא כשר:

הפאראדוכסים הם מן הסימנים המובהקים של הקשיים המושגיים ושל המבוכות הלוגיות. אפשר להיפטר מהם על ידי סילוק הקשיים או הפגת המבוכות, באחת משתי דרכים. ההולך בדרך האחת מודה ועוזב - הוא מקבל את הפאראדוכס כעדות גמורה לכך שהמערכת המושגית שלו לקויה והוא משנה אותה במידה הדרושה כדי להסיר את הליקוי. ההולך בדרך האחרת כופר בעובדות ובאשמה - הוא אינו מקבל את הפאראדוכס, אלא מראה שהלה פורח על מגדל שהוא עצמו לקוי בשל סטיות סמויות מן המערכת המושגית הנתונה. בין אם כך ובין אם כך, הפאראדוכסים ילכו ויפוגו, אך לאורם יתבהרו לנו המושגים של עצמנו.

— פרופ' אסא כשר, פאראדוכס, סימן שאלה

סוגים שונים של פרדוקסים

ניתן לסווג פרדוקסים לקטגוריות העיקריות הבאות:

• פרדוקסים מתמטיים - מתעוררים ממושגי היסוד של המתמטיקה.
• פרדוקסים לוגיים - מתעוררים ממושגי היסוד של הלוגיקה והפילוסופיה.
• פרדוקסים פיזיקליים - עוסקים במושגים של זמן, חלל ותנועה, מהעולם העתיק ועד לפיזיקה מודרנית.
• פרדוקסים של עמימות או פרדוקסים הגדרתיים - נובעים ממגבלותיה של השפה הטבעית, ומן היכולת לטעון טענות שיש בהן סתירה פנימית.

פרדוקסים מפורסמים

להלן כמה פרדוקסים מפורסמים, שחלקם היו בעלי השפעה רבה על החשיבה המדעית במהלך ההיסטוריה.

פרדוקסים מילוליים

• בעיות של השפה הטבעית:
  • פרדוקס הערימה: מסירים מערימת חול גרגר אחר גרגר. מתי בדיוק היא מפסיקה להיות ערימה?
  • הפרדוקס של ברי: המספר הקטן ביותר שאינו ניתן לתיאור באמצעות פחות ממאה אותיות.
  • הפרדוקס של גרלינג-נלסון: וריאציה לשונית של הפרדוקס של ראסל אודות קבוצות.
  • פרדוקס בוחן הפתע: מהמשפט "בשבוע הבא יתקיים בוחן פתע" נובע שהבוחן לא יתקיים. זאת משום שאם הוא לא יתקיים בין הימים א' עד ה', הרי שהוא לא יוכל להתקיים גם ביום ו', שהרי אז הוא לא יפתיע איש. ואם הוא לא יכול להתקיים ביום ו', אז באותו אופן הוא אינו יכול להתקיים גם ביום ה' ואם לא ביום ה', אז באותו אופן גם לא ביום ד' וכולי. פרדוקס זה פורסם במהלך מלחמת העולם השנייה והפתרון עבורו נמצא לקראת סוף המאה העשרים. הפרדוקס הוא פרדוקס לכאורה. הוא משתמש במילה "פתע" כאילו היא חייבת לתאר הפתעה מוחלטת, כאשר הבוחן המתואר היה בעל מרכיב הפתעה חלקי. הבוחן הגיע אחרי אזהרה מראש וכל יום שבו הוא לא התקיים, הוריד עוד ממידת ההפתעה שבו.
• הנחות יסוד בעייתיות:
  • פרדוקס השקרן: "משפט זה הוא משפט שקרי".
  • פרדוקס הקטגוריה השלישית: נחלק את כל המשפטים בעברית למשפטים שיש להם ערך-אמת (זאת אומרת הם או אמת או שקר, כמו "אתמול ירד גשם") ומשפטים שאין להם ערך-אמת (למשל, "המשפט הזה הוא שקר"). אז באיזו קטגוריה נמצא המשפט "אם יש למשפט זה ערך-אמת אז הוא שקר"? (משפט זה שקול לוגית ל"משפט זה אינו אמת" ולכן זוהי הכללה מסוימת של פרדוקס השקרן לעולם שבו המשפטים ניתנים למיון לעוד קטגוריות מלבד "אמת" ו"שקר". יש לשים לב שלכל המשפטים מהצורה "אם יש לו ערך-אמת אז (טענה כלשהי)" הם אמת, שכן משפטים מהצורה "אם (שקר) אז (טענה)" הם תמיד אמת. ולכן אם נניח שאין למשפט זה ערך-אמת נקבל שהוא נכון ולכן יש לו ערך אמת והוא "אמת")
  • פרדוקס "אף תשובה אינה נכונה": במבחן רב ברירתי ישנה תשובה שאומרת שאין תשובות נכונות.
  • פרדוקס הכלל: "לכל כלל יש יוצא מהכלל." האם לכלל זה יש יוצא מהכלל? ואם כן, זה נוגד את ההנחה הראשונית.
  • פרדוקס הכל-יכול: האם ישות שהיא כל-יכולה מסוגלת ליצור כוח שיתגבר עליה?
  • פרדוקס הסַפָּר: בעיירה מסוימת גר ספר, המספר את כל התושבים שאינם מספרים את עצמם, ורק אותם. מי מספר את הספר?
  • הפרדוקס של קרי: המשפט "אם משפט זה נכון, אז יש סוסים מדברים עברית" בהכרח נכון, ולכן יש סוסים שמדברים עברית.

פרדוקסים הקשורים לזמן

• פרדוקס הסבא: אדם נוסע לאחור בזמן והורג את סבו לפני שזה פגש את סבתו. כתוצאה מכך הוא לא נולד מעולם ולכן לא יכול היה לחזור בזמן ולהרוג את סבו. פרדוקס זה משמש כטיעון שמסע בזמן, אל העבר, אינו אפשרי.
• פרדוקס התאומים: כאשר אחד משני אחים תאומים יוצא מכדור הארץ במהירות קרובה למהירות האור, הוא חוזר מהמסע כשהוא צעיר מאחיו שנשאר בכדור הארץ.
• הפרדוקס של ניוקום: פרדוקס בהתנהגות רציונלית מול שחקן חוזה עתידות.
• פרדוקס הביצה והתרנגולת: מה קדם למה - הביצה או התרנגולת?
• פרדוקס המנורה של תומסון - מדליקים מנורה; כעבור דקה מכבים אותה; כעבור חצי דקה מדליקים אותה מחדש; כעבור רבע דקה מכבים אותה שוב, וכן הלאה. מה יהיה מצבה בתום התהליך?

פרדוקסים הלכתיים

ערך מורחב – פרדוקס הלכתי

• פרדוקס קידוש החודש: או כיצד לעצור את הזמן בסיוע ההלכה: שני אנשים שבאו לסנהדרין ביום ל' לחודש אב והעידו שראו את מולד הלבנה, ובהתאם החליט בית הדין להכריז על אותו היום כ-א' באלול. לפני שהספיקו להכריז כך, הגיעו לבית הדין שני עדים אחרים לְהָזֵם את עדותם של העדים הראשונים או לפסלם, שני עדים אלה יהיו ביום א' לחודש אלול בני 13 (בני מצווה) וכשירים לעדות מאותו יום.
• פרדוקס ברכת המזון: לדעה (שאינה להלכה) שלאחר שתיית יין מברכים ברכת המזון, ולדעה שלאחר ברכת המזון צריך לשתות כוס יין (כמו שנוהגים להלכה לאחר זימון בעשרה), אם כן לאחר כל ברכת המזון ישתה כוס יין ולאחריה יצטרך לברך שוב ברכת המזון, וחוזר חלילה.
• פרדוקס השבת אבידה וכיבוד אב: כאשר יש לאדם שלוש אפשרויות: כיבוד אב, השבת אבידת עצמו והשבת אבידת חבירו, יש בעיה מה יבחר: השבת אבידת חבירו קודמת לכיבוד אב, השבת אבידת עצמו קודמת להשבת אבידת חבירו, וכיבוד אב קודם להשבת אבידת עצמו (לדעה מסוימת) (תוס' קידושין לב.).
• פרדוקס בגירושין על תנאי: כאשר בעל גירש את אשתו על תנאי שהיא צדיקה, לאחר מכן היא נדרה נדר, הוא הפר לה והיא עברה על הנדר: אם נאמר שהיא מגורשת, א"כ הפרתו לא מועילה, ואם כן היא עברה על הנדר וממילא אינה צדיקה, וא"כ אינה מגורשת. אך אם אינה מגורשת, א"כ הפרתו מועילה, וא"כ לא עברה על הנדר והיא צדיקה, וממילא מגורשת.
• פרדוקס הסוכה: אדם בנה סוכה בגודל שבע על שבע טפחים, ותלה קישוטים על הדפנות, ונמצא הסוכה נתמעטה משיעורה, לפי ההלכה נוי סוכה בטל לדפנות, ואם כן נחשב שהתעבו הדפנות עד שאין בסוכה שיעור שבע על שבע, ונמצא שהסוכה פסולה. אבל מרגע שהסוכה נפסלת, הקישוטים כבר לא נחשבים לנוי סוכה, ואם כך שוב יש כאן שיעור סוכה, והסוכה כשירה, אבל אם נכשיר את הסוכה, שוב נמצא שהקישוטים הם נוי סוכה וממעטים הסוכה משיעורה. וחוזר חלילה.
• פרדוקס נר חנוכה וקידושי אישה: אישה שהיתה אורחת באכסניה בימי החנוכה, רצתה לזכות במצוות נר חנוכה, ביקשה לתת פרוטה לבעל הבית, להשתתף בהדלקת נר חנוכה שלו. אמר לה בעל האכסניה: 'הרי את מקודשת בפרוטה שהיית צריכה לתת לי'. ה"מנחת אלעזר" ממונקטש דן בשאלה זו ומציע פרדוקס הלכתי: עתה יש לדון, אם היא מקודשת, אז לא צריך לתת פרוטה, כי היא הרי אשתו. אלא שאם לא צריך פרוטה, כלומר, אם היא אינה צריכה ליתן לו פרוטה, אם כן הוא לא נתן לה מאומה ושוב אינה מקודשת, ושוב צריכה ליתן לו פרוטה ושוב מתקדשת... וחזר הדין ומתהפך לבלתי תכלית. אכן, למעשה היא יצאה ידי חובת נר חנוכה דרבנן, כיון שנתן לה את הזכות בנר הזה מרצונו ובמתנה. (שו"ת "מנחת אלעזר" ד' ס"ט ועיי"ש)
• פרדוקס המשומד שעבר ומל בשבת: אדם שמל במזיד בשבת שאם זוהי מילה הוא משומד וממילא זו אינה מילה המתקנת, ואם כן אינו משומד מכיון שדינה כ'מקלקל גמור' שפטור ואז המילה חלה והוא משומד, וחוזר חלילה.
• פרדוקס השבת: מצד אחד פיקוח נפש דוחה שבת, הרי שערך החיים גדול משל השבת. מצד שני מחלל שבת מות יומת, הרי שערך השבת גדול משל החיים? בפתרון "הפרדוקס" הזה משיב המשך חכמה: על פי דיוק הפסוק המלמד על עונש מחלל השבת. בתחילת הפסוק נכתב "מחלליה מות יומת" ובסוף הפסוק נכתב "ונכרתה הנפש ההיא מקרב עמה". מורה התורה שנפש המחלל נכרתה מהעולם, וממילא לאו בר קיימא ועל כן מות יומת. ואין כאן סתירה לערך החיים מאחר שנפש המחלל כבר נכרתה קודם המיתה.

פרדוקסים פיזיקליים

• פרדוקס הגלגל של אריסטו: הציור הקלאסי של הפרדוקס מתאר שני גלגלים בקטרים שונים, כאשר אחד נמצא בתוך השני ויש להן מרכז מעגל משותף. כל גלגל עושה דרך של קו ישר כשהדרך של כל גלגל נראית כ- 'היקף' הגלגל. אבל בפועל מקבלים שני קווים באותו אורך, ולכן היקף הגלגל הקטן צריך להיות זהה להיקף הגלגל הגדול, מה שסותר את ההנחה שיש להם היקפים בגדלים שונים, כלומר פרדוקס.
• הפרדוקסים של זנון: פרדוקסים על תנועה וזמן, מתקופת יון העתיקה. פרדוקסים אלו נחשבים היום לפתורים, בזכות פיתוח החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.
• הפרדוקס של אולברס: אם היקום אינסופי ואחיד בקנה מידה מספיק גדול, על שמי הלילה להיות בהירים לחלוטין, כי יש כוכב בכל כיוון.
• הפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן, עוסק בהשפעת מאורעות רחוקים זה מזה במסגרת מכניקת הקוונטים
• פרדוקס החתול של שרדינגר: פרדוקס במכניקת הקוונטים.
• פרדוקס עלי התה: מדוע עלי התה בכוס מתרכזים במרכז לאחר הבחישה ולא נודדים לשולי תחתית הכוס?
• פרדוקס הנובע מקיומה של סינגולריות כבידתית: שני גופים שמגיעים לנקודת סינגולריות בזמנים שונים יוצרים פרדוקס הנובע מכך ששעונו של כל אחד מהם עוצר כאשר הוא מגיע לנקודה זו. השערת הצנזורה הקוסמית אמורה למנוע את המצב הפרדוקסלי.
• פרדוקס המידע: מידע הטמון בחומר שנכנס לתוך חור שחור עלול להיעלם בעקבות תהליך ה"התאדות" של חורים שחורים (קרינת הוקינג), משום שתהליך זה אינו מוציא מידע מהחור השחור.
• הפרדוקס של גיל היקום: לפי התצפיות בראשית שנות ה-90 היה נראה כאילו יש כוכבים הזקנים מן היקום עצמו.
• פרדוקס המוט והאסם: פרדוקס בתורת היחסות הפרטית.

פרדוקסים מתמטיים

• הפרדוקס של קנטור: לקבוצת כל הקבוצות קיימת קבוצת חזקה שהיא מצד אחד גדולה יותר (בעלת עוצמה גבוהה יותר), ומצד שני מוכלת בקבוצת כל הקבוצות.
• הפרדוקס של ראסל: האם קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן מכילה את עצמה?
• הפרדוקס של ברטראן: במשולש שווה-צלעות החסום במעגל, מה הסיכוי שמיתר במעגל יהיה ארוך יותר מצלע של המשולש? בשלוש שיטות חישוב שונות מתקבלות שלוש תוצאות שונות זו מזו.

פרדוקסים בפילוסופיה של המדע

• פרדוקס העורב: שימוש בשיטת האינדוקציה המדעית מוביל למצב שבו, כאשר אנו רואים תפוח אדום, זה אמור לחזק את אצלנו את ההשערה, שכל העורבים שחורים.
• הפרדוקס של נלסון גודמן: התאוריות 'חוקי הפיזיקה תקפים' ו'חוקי הפיזיקה תקפים אבל יתהפכו בסוף שנת 2019' מנפקות אותם ניבויים ולכן הידע שלנו תומך בשתיהן במידה שווה.

פרדוקסים נוגדי אינטואיציה

• הפרדוקס של גלילאו: מספרם של כל המספרים הטבעיים, זהה למספרם של אלו מהם שהם גם מספרים ריבועיים. הדבר נראה כסותר את העובדה הברורה, לכאורה, שיש יותר מספרים טבעיים מריבועיים. מכאן הסיק גלילאו, שמושגי ה"גדול", "קטן" ו"שווה", המוכרים לנו מקבוצות סופיות, אינם תקפים באותה צורה עבור קבוצות אינסופיות.
• הבעיה של מונטי הול: תוצאה בלתי אינטואיטיבית לבעיה פשוטה בתורת ההסתברות.
• פרדוקס יום ההולדת: די ב-23 אנשים בקבוצה כדי להבטיח בהסתברות גבוהה מחצי שלשניים מהם יהיה יום הולדת משותף.
• הפרדוקס של בנך-טרסקי: ניתן לחתוך כדור למספר סופי של חלקים, ולהרכיב מהם שני כדורים זהים לכדור המקורי.
• פרדוקס תפוחי האדמה: ייבוש כמות מים הנשמעת קטנה מקטין באופן דרמטי את משקל תפוחי האדמה.

פרדוקסים של הטעיה

• פרדוקס הסוס: דוגמה של שימוש שגוי באינדוקציה מתמטית.
• פרדוקס המעטפות: ישנן שתי מעטפות באחת סך מסוים ובשנייה כפול. אדם מקבל מעטפה אחת, אך לכאורה תמיד משתלם לו לבקש תמיד שיחליפו אותה במעטפה שהוא לא קיבל. זהו פרדוקס לכאורה מתורת ההסתברות, המחשב את התוחלת תוך התעלמות מהליך ההגרלה.

ראו גם

• התייחסות עצמית

לקריאה נוספת

• פרופ' אסא כשר, פאראדוכס, סימן שאלה, עיון, 1975, עמ' 236 - 241.
• ענת בילצקי, ‏פרדוקסים, סדרת אוניברסיטה משודרת, בהוצאת משרד הביטחון – ההוצאה לאור, 1996
• יהושע בר-הלל, הגיון, לשון ושיטה, הוצאת ספרית פועלים, 1970.
• רות מנור, "מה פרדוקסלי בפרדוקסים?", פילוסופיה ישראלית, הוצאת פפירוס, 1982.
• ארנון אברון, ‏משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה, סדרת אוניברסיטה משודרת, בהוצאת משרד הביטחון – ההוצאה לאור, 1998
• מריוס כהן, "הפוך על הפוך", מדור בנושא פרדוקסים, גליליאו, גיליונות 103-123, מרץ 2007 - נובמבר 2008.
• רוני רייך, פרדוקס ראש החודש, גליליאו, כת-עת למדע ולמחשבה, 114 (פברואר 2008), עמ' 69-68.

קישורים חיצוניים

• חיים גייפמן ואילן עמית, ‏על פרדוקסים ומשמעותם, מחשבות 52, נובמבר 1983, עמ' 14–19
• רועי יהושוע, פרדוקסים, באתר "בארץ הדעת"
• ענת בילצקי, מהו פרדוקס?, באתר מט"ח
• פרדוקסים הלכתיים הנובעים מסיבה התלויה בתוצאה מתוך הספר "קובץ יסודות וחקירות" ערך "חלויות" ד"ה "תלוי בעצמו".
• חשיבה פרדוקסלית – מה זה ולמה כדאי לך להשתפר בה?, באתר טקסטולוגיה