קבוצה בת מנייה
בערך זה |
בתורת הקבוצות, קבוצה בַּת מְנִיָּה היא קבוצה שעוצמתה שווה לעוצמה של תת-קבוצה כלשהי של קבוצת המספרים הטבעיים, כלומר ניתן למספר את איבריה כך שלכל איבר יותאם מספר טבעי ייחודי לו. במילים אחרות, כדי להוכיח שקבוצה היא בת מנייה, יש להדגים פונקציה חד-חד-ערכית ממנה אל קבוצת המספרים הטבעיים. עוצמה של קבוצה בת מניה יכולה להיות סופית או אינסופית. לדוגמה, קבוצת המספרים הטבעיים הזוגיים היא תת-קבוצה של המספרים הטבעיים ועוצמתה היא אינסופית.
העוצמה של קבוצה בת מנייה אינסופית מסומנת באות העברית (אָלֶף אֶפֶס).
ממשפט קנטור-שרדר-ברנשטיין נובע שקבוצה אינסופית שאפשר לסדר את איבריה בסדרה (ואפילו עם חזרות) גם היא בת מנייה. למשל, אם הקבוצות ו- שתיהן בנות מנייה, אז האיחוד שלהן גם הוא בן מנייה, שהרי .
מובן שקבוצת המספרים הטבעיים היא קבוצה בת מנייה. גם כל קבוצה אינסופית שהיא קבוצה חלקית של הטבעיים, כגון קבוצת המספרים הזוגיים או קבוצת המספרים שבייצוג העשרוני שלהם מופיעה הספרה 7, היא קבוצה בת מנייה. תוצאות פחות מובנות מאליהן הן התוצאות לפיהן גם קבוצת המספרים הרציונליים וקבוצת המספרים האלגבריים הן קבוצות בנות מנייה.
קבוצות בנות-מנייה נוספות
הנה הוכחתו של גאורג קנטור שקבוצת הזוגות של מספרים טבעיים היא בת מנייה. נסדר את הזוגות באופן הבא: ראשית יבוא (1,1), אחריו (1,2) ו-(2,1), אחר-כך שלושת הזוגות שסכום הקואורדינטות שלהם , אחר-כך ארבעת הזוגות שסכום הקואורדינטות שלהם 5, וכן הלאה. (הזוגות שסכומם מסודרים לפי הערך של , מהקטן לגדול). ברור שהרשימה כוללת כל זוג של מספרים טבעיים, ולכן אוסף הזוגות בן מנייה. להתאמה שבהוכחה קוראים פונקציית זיווג.
מן ההוכחה הזו נובע למשל שאוסף המספרים הרציונליים (החיוביים) הוא בן מנייה: יש פונקציה מן הזוגות של מספרים טבעיים המכסה את כל המספרים הרציונליים, . העובדה שכל מספר רציונלי מתקבל יותר מפעם אחת (ולמעשה אינסוף פעמים) אינה מפריעה - אם רוצים ליצור רשימה שבה כל רציונלי יופיע פעם אחת, אפשר לדלג על זוגות שאינם זרים; או לחלופין להשתמש במשפט קנטור-שרדר-ברנשטיין.
הטיעון של קנטור מראה שכל מכפלה קרטזית של קבוצות בנות מנייה, גם היא בת מנייה. באינדוקציה נובע שאם קבוצה בת מנייה, אז לכל טבעי הקבוצה גם היא בת מנייה. יתרה מזו, גם איחוד של מספר בן מנייה של קבוצות, שכל אחת מהן בת מנייה, הוא בן מנייה.
למשל, היא קבוצה בת מנייה. בניסוח אחר, קבוצת כל הסדרות הסופיות של מספרים טבעיים היא בת מנייה. אלא שיש קבוצות גדולות יותר: משיטת האלכסון של קנטור יוצא שקבוצת כל הסדרות בנות המנייה של מספרים טבעיים (ואפילו של המספרים 0 ו-1) היא גדולה מכדי להיות בת מנייה. מכיוון שכך, גם קבוצת המספרים הממשיים אינה בת מנייה.
ראו גם
נושאים בתורת הקבוצות | ||
---|---|---|
מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה | |
עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף | |
פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית | |
אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה • השערת הרצף | |
משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב | |
פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור | |
יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • סדר חלקי • יחס הופכי • יחס אנטי-סימטרי | |
סדר | סדר מלא • סדר טוב • סדר חלקי • טיפוס סדר • מספר סודר | |
שונות | הפרדוקס של ראסל |
קישורים חיצוניים
- קבוצה בת מנייה, באתר MathWorld (באנגלית) המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.
שגיאות פרמטריות בתבנית:קצרמר
פרמטרי חובה [ 1 ] חסרים