קואורדינטות כדוריות

מערכות צירים וקואורדינטות

מערכות צירים נפוצות

קואורדינטות קרטזיות קואורדינטות קוטביות קואורדינטות גליליות קואורדינטות כדוריות קואורדינטות גליליות פרבוליות

ראו גם

קואורדינטות קואורדינטות גאוגרפיות קואורדינטות (אלגברה) חשבון טנזורים אנליזה וקטורית

קואורדינטות כדוריות (נקראות גם קואורדינטות ספריות, באנגלית: Spherical coordinates) הן מערכת קואורדינטות המתארות את המרחב האוקלידי התלת־ממדי $\mathbb {R} ^{3}$ . כל נקודה במרחב מתוארת על ידי המרחק שלה מראשית הצירים והכיוון שלה במרחב (2 זוויות אורינטציה הנקבעות ביחס לציר Z וציר X במערכת צירים קרטזית).

בהרבה מקרים ובעיות פיזיקליות בהן יש סימטריה כדורית נוח לתאר את המרחב באמצעות קואורדינטות ספריות. בקואורדינטות אלה מחליפות $r,\theta ,\phi$ את XYZ.

הגדרה

קואורדינטות כדוריות – הגדרה

הגדרת הקואורדינטות הכדוריות $(r,\theta ,\phi )$ נעשית באמצעות אינטואיציה גאומטרית. נמתח חץ מן הראשית $(0,0,0)$ אל הנקודה $(x,y,z)$ ולחץ זה נקרא וקטור. אזי הקואורדינטות הכדוריות מוגדרות באופן הבא (ראו איור).

• הקואורדינטה $r$: קואורדינטה זו מייצגת את המרחק שבין הנקודה לראשית. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך ממשי אי־שלילי (כולל אפס).
• הקואורדינטה $\theta$ (תטא): קו רוחב, מייצגת את הזווית שבין הווקטור לציר Z, כאשר בזווית אפס הווקטור פונה כלפי מעלה. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 לפאי.
• הקואורדינטה $\phi$ (פי): אזימוט, מייצגת את הזווית שבין ההיטל של הווקטור על מישור XY ובין ציר X. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 ל־$2\pi$ .

בדרך זאת משיגים מערכת צירים ימנית. ישנם הסכמים ושימושים שונים הנוגעים לטווח השינוי של הקואורדינטות הכדוריות, נדבוק בהסכם:

$(r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$

לכן, אם נתון לנו גוף ששיעוריו הכדוריים הם $(r,\theta ,\phi )$ אזי שיעוריו הקרטזיים הם:

${\begin{aligned}x&=r\sin(\theta )\cos(\phi )\\y&=r\sin(\theta )\sin(\phi )\\z&=r\cos {\theta }\end{aligned}}$

הטרנספורמציה ההפוכה נתונה בנוסחות הבאות:

${\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)\\\phi &=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\end{aligned}}$

יש לשים לב: מכיוון שהזווית $0<\phi <2\pi$ יש להשתמש בפונקציה ${\text{atan}}2(\phi )$ המחזירה זווית בתחום זה כתלות ברביע אף כי atan בעל מחזור $\pi$ .

וקטורי היחידה

בקואורדינטות קרטזיות אפשר לרשום את כיוונו של כל וקטור בצורה

${\vec {A}}=A_{x}{\hat {e}}_{x}+A_{y}{\hat {e}}_{y}+A_{z}{\hat {e}}_{z}=A_{x}{\hat {x}}+A_{y}{\hat {y}}+A_{z}{\hat {z}}$

כאשר ${\hat {e}}_{i},\ i=\{x,y,z\}$ וקטורי היחידה הקרטזיים.

אנו נרצה להציג באותה צורה את הווקטור גם בקואורדינטות כדוריות:

${\vec {A}}=A_{r}{\hat {e}}_{r}+A_{\theta }{\hat {e}}_{\theta }+A_{\phi }{\hat {e}}_{\phi }$

כאשר ${\hat {e}}_{j},\ j=\{r,\theta ,\phi \}$ "וקטורי היחידה הכדוריים".

אפשר לחשבם בכל נקודה במרחב ולקבל שהם נתונים על ידי

${\begin{matrix}{\hat {r}}={\hat {e}}_{r}&=&{\bigl (}\sin(\theta )\cos(\phi ){\bigr )}{\hat {x}}&+&{\bigl (}\sin(\theta )\sin(\phi ){\bigr )}{\hat {y}}&+&{\bigl (}\cos(\theta ){\bigr )}{\hat {z}}\\{\hat {\theta }}={\hat {e}}_{\theta }&=&{\bigl (}\cos(\theta )\cos(\phi ){\bigr )}{\hat {x}}&+&{\bigl (}\cos(\theta )\sin(\phi ){\bigr )}{\hat {y}}&+&{\bigl (}-\sin(\theta ){\bigr )}{\hat {z}}\\{\hat {\phi }}={\hat {e}}_{\phi }&=&{\bigl (}-\sin(\phi ){\bigr )}{\hat {x}}&+&{\bigl (}\cos(\phi ){\bigr )}{\hat {y}}&+&(0){\hat {z}}\end{matrix}}$

כלומר: וקטורים אלה אינם קבועים במרחב, אלא כיוונם משתנה בהתאם לנקודה.

למרות זאת, וקטורים אלה עדיין שומרים על אורתונורמליות ומהווים שלשה אורתוגונלית ימנית: ${\hat {r}}\times {\hat {\theta }}={\hat {\phi }}$

יש לשים לב שעבור וקטור ההעתק, אף על פי שבקואורדינטות קרטזיות, הרכיבים שלו הן הקואורדינטות שלו, כלומר:

${\vec {r}}=x{\hat {e}}_{x}+y{\hat {e}}_{y}+z{\hat {e}}_{z}$

או במפורש:

${\begin{aligned}&r_{x}(x,y,z)=x\\&r_{y}(x,y,z)=y\\&r_{z}(x,y,z)=z\end{aligned}}$

זהו מקרה פרטי, ובקואורדינטות כדוריות וקטור המקום ייוצג:

${\vec {r}}=r{\hat {e}}_{r}(r,\theta ,\phi )$

כלומר

${\begin{aligned}&r_{r}(r,\theta ,\phi )=r\\&r_{\theta }(r,\theta ,\phi )=0\\&r_{\phi }(r,\theta ,\phi )=0\end{aligned}}$

תכונות מטריות

המטריקה (כלומר: המרחק בין כל שתי נקודות) בקואורדינטות אלה נקבע על ידי הטנזור המטרי שנותן את אלמנט האורך הדיפרנציאלי. הטנזור המטרי כאן הוא מטריצה אלכסונית, שאלמנטיה השונים מאפס הם

$\ g_{rr}=1\ ,\ g_{\theta \theta }=r^{2}\ ,\ g_{\phi \phi }=r^{2}\sin ^{2}\theta$

ולכן אלמנט האורך הדיפרנציאלי הוא

$\ d{\vec {l}}=(dr){\hat {r}}+(rd\theta ){\hat {\theta }}+(r\sin \theta d\phi ){\hat {\phi }}$

שטחים ונפחים

מכיוון שמדובר במערכת צירים "עקומה", אלמנט הנפח האינפיניטסימלי כאן הוא לא פשוט מכפלה של $\!\,dr,d\theta ,d\phi$ . נסתכל על אלמנט נפח אינפינטסימלי שמונח על קליפה עבה של כדור, שהוא כל כך קטן עד שבקירוב די טוב הוא קובייתי. עוביו הוא $\ dr$, גובהו הוא $\ rd\theta$ ואילו אורכו (ההיקף) הוא $\ r\sin {\theta }d\phi$ ולכן הנפח של אלמנט הנפח האינפינטסימלי יהיה

$\!\,dV=r^{2}\sin {\theta }\ dr\ d\theta \ d\phi$ .

באותו אופן אפשר לחשב גם את השטח של אלמנט השטח ואת האורך של אלמנט האורך האינפיניטסימלי.

אנליזה וקטורית

אנליזה וקטורית היא כלי שימושי בבעיות פיזיקליות, לרבות בעיות פיזיקליות בעלות סימטריה כדורית. תחום זה מטפל בשינוי של שדות סקלריים ווקטוריים בזמן ובמרחב. מובאות כאן הנוסחאות השימושיות של נגזרות וקטוריות (גרדיאנט, דיברגנץ, רוטור ולפלסיאן) בקואורדינטות כדוריות:

$d{\vec {l}}=(dr){\hat {r}}+(rd\theta ){\hat {\theta }}+(r\sin(\theta )d\phi ){\hat {\phi }}\quad \Rightarrow \quad dV=r^{2}\sin \theta \cdot dr\cdot d\theta \cdot d\phi$

גרדיאנט: ${\vec {\nabla }}f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\hat {\theta }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {\phi }}$

דיברגנץ: ${\vec {\nabla }}\mathbf {\cdot } {\vec {F}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial (r^{2}F_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial (F_{\theta }\sin \theta )}{\partial \theta }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}$

רוטור: ${\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial (F_{\phi }\sin \theta )}{\partial \theta }}-{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \phi }}\right){\hat {r}}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial (rF_{\phi })}{\partial r}}\right){\hat {\theta }}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial (rF_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {\partial F_{r}}{\partial \theta }}\right){\hat {\phi }}$

לפלסיאן: $\nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}\right)$

ראו גם דל במערכות צירים שונות.

ראו גם

• כדור (גאומטריה)
• הרמוניות כדוריות
• תנע זוויתי
• אנליזה וקטורית
• גאומטריה דיפרנציאלית

קישורים חיצוניים

• קואורדינטות כדוריות, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0