קומוטטור

במתמטיקה, הקומוטטור הוא פונקציה של שני אברים בחוג או חבורה, המודדת באיזו מידה האברים אינם מתחלפים; במלים אחרות, הפונקציה מודדת עד כמה נכשלת תכונת הקומוטטיביות. בחוג קומוטטיבי או בחבורה קומוטטיבית הקומוטטור הוא תמיד טריוויאלי.

קומוטטור חיבורי וכפלי

הקומוטטור החיבורי

בחוג R, הקומוטטור החיבורי מוגדר לפי הנוסחה $\ [a,b]=ab-ba$. הקומוטטור מתאפס רק אם a ו-b מתחלפים $\ ab=ba$. פונקציית הקומוטטור היא אדיטיבית בשני המשתנים, ואם R הוא אלגברה, אז זוהי פונקציה בילינארית.

כל אלגברה אסוציאטיבית הופכת להיות אלגברת לי ביחס לפעולת הקומוטטור.

באלגברת המטריצות, העקבה של כל קומוטטור היא אפס, וגם ההפך נכון במידת מה: כל מטריצה בעלת עקבה אפס היא סכום של קומוטטורים.

לקומוטטורים (וגם לעקבה) תפקיד מרכזי בתאוריה של אלגברות עם זהויות. הדוגמה הבסיסית בתחום זה היא הזהות $\ [[a,b]^{2},c]=0$, שאותה מקיימת אלגברת המטריצות $\ M_{2}(F)$. במלים אחרות, כל שלוש מטריצות a,b,c בגודל $\ 2\times 2$ מעל שדה מקיימות את הזהות $\ [a,b]^{2}c=c[a,b]^{2}$.

הקומוטטור הכפלי

בחבורה המושג 'קומוטטור' מתייחס לקומוטטור הכפלי, $\ [a,b]=aba^{-1}b^{-1}$. גם כאן מתקיים $\ [a,b]=1$ אם ורק אם $\ ab=ba$. אם G היא חבורה, אז תת-החבורה שלה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים נקראת תת חבורת הקומוטטורים ומסמנים אותה ב- $\ G'$; זוהי בניה יסודית בתורת החבורות, מכיוון שתת-חבורת הקומוטטורים היא תמיד תת-חבורה נורמלית, והמנה $\ G/G'$ היא המנה האבלית המקסימלית של G. באופן כללי יותר, אם N,K הן תת-חבורות נורמליות של G, אז מסמנים ב- $\ [N,K]$ את תת-החבורה של G הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים $\ [n,k]$ של האיברים $\ n\in N,k\in K$. זוהי תמיד תת-חבורה נורמלית, המוכלת גם ב- N וגם ב- K.

איברים המתקבלים מלקיחת קומוטטור k פעמים נקראים 'קומוטטורים ממשקל k' (למשל, $\ [[a,b],[c,d]]$ הוא קומוטטור ממשקל 3), והם קשורים לתכונות של החבורה כמו פתירות או נילפוטנטיות. לשם הקיצור, מקובל לסמן $\ [a,b,c]=[[a,b],c]$ (קומוטטור ממשקל 2), ובאופן כללי $\ [a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}]=[[a_{1},a_{2},\dots ,a_{k-1}],a_{k}]$. תת-החבורה של G הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים $\ [a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}]$ מסומנת ב- $\ G_{k}$, וכך $\ G'=G_{2}$ ובאופן כללי $\ G_{k+1}=[G_{k},G]$. חבורה נילפוטנטית ממחלקה k היא כזו שבה $\ G_{k+1}=1$.

קומוטטורים מקיימים מספר זהויות חשובות, למשל $\ [a,b]=[b,a]^{-1}$ ו- $\ [a,bc]=[a,b][a,c]^{b}$ כאשר $\ x^{y}$ הוא סימון מקוצר לצמוד $\ yxy^{-1}$. זהות ידועה אחרת היא זהות יעקובי: $\ [x,y^{-1},z]^{y}[y,z^{-1},x]^{z}[z,x^{-1},y]^{x}=1$. מזהות זו נובעת למת שלוש תת-החבורות: אם H,K,L תת-חבורות נורמליות של G, אז $\ [H,K,L]\subseteq [K,L,H][L,H,K]$. בפרט (אם נבחר K=L) מתקיים $\ [H,[L,L]]\subseteq [L,[L,H]]$. אם כעת נבחר $\ H=[L,L]$ נקבל $\ [[L,L],[L,L]]\subseteq [L,[L,[L,L]]]$, כלומר $\ G''\subseteq G_{4}$. זהו מקרה פרטי של משפט כללי יותר: כל הקומוטטורים ממשקל k שייכים ל- $\ G_{k+1}$. אם כך, בחבורה נילפוטנטית ממחלקה k, כל הקומוטטורים ממשקל k הם טריוויאליים.

מושגים דומים

אנטי-קומוטטור

כמו הקומוטטור, אפשר להגדיר גם אנטי קומוטטור עבור חוג או אלגברה, בתור האיבר $\ \{a,b\}=ab+ba$. אם A היא אלגברה אסוציאטיבית, אז היא אלגברת ז'ורדן ביחס לפעולת האנטי-קומוטטור.

אסוציאטור

ערך מורחב – אסוציאטור

בדומה לקומוטטור שמודד את כישלון הקומוטטיביות, מגדירים באלגברה לא אסוציאטיבית פונקציה בשם האסוציאטור (associator), לפי הנוסחה $\ (a,b,c)=(ab)c-a(bc)$. האסוציאטור מקיים את הזהות $\ a(x,y,z)+(a,x,y)z=(ax,y,z)-(a,xy,z)+(a,x,yz)$.

הקומוטטור בפיזיקה

בפיזיקה, וליתר דיוק, במכניקת הקוונטים, הקומוטטור של אופרטורים במרחב הילברט הוא מושג שימושי מאוד. במכניקת הקוונטים יחסי החילוף של אופרטורים מלמדים דברים חשובים על תכונותיהם. אם אופרטור מתחלף עם ההמילטוניאן אזי הוא מייצג גודל שנשמר במערכת (חוק שימור), וסימטריה בקואורדינטה הצמודה. כמו כן, אם אופרטור מתחלף עם אופרטור אחר אז אפשר ללכסן אותם סימולטנית (ביחד) ואגב כך לקבל בו זמנית את ערכי התצפית של שניהם בצורה מדויקת, על כן זוהי תכונה שימושיות ביותר. בניגוד לזה, כל שני אופרטורים A ו B שאינם מתחלפים מקיימים את עקרון אי הוודאות בניסוחו הכללי:

$\ {\frac {1}{2}}|\langle i[A,B]\rangle |\leq \Delta A\cdot \Delta B$

כלומר, אי-אפשר למדוד את A ואת B בו-זמנית בדיוק מוחלט.

יחסי חילוף של אופרטורים קוונטים חשובים

• מיקום ותנע קווי - $\ [x_{i},p_{j}]=i\hbar \delta _{ij}$ כאשר $x_{i}$ הוא אופרטור מיקום ו- $p_{j}$ הוא אופרטור תנע.

• תנע זוויתי - $\ [L_{i},L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k}$ כאשר $\varepsilon _{ijk}$ הוא טנזור לוי-צ'יויטה .

עם זאת, האופרטור $\ L^{2}$ מתחלף עם כל אחד מרכיביו: $\ [L^{2},L_{j}]=0$

• אופרטורי יצירה וחיסול של בוזונים מקיימים יחסי חילוף, כלומר $[a({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})]=\delta ({\vec {k}}_{1}-{\vec {k}}_{2})$, ואילו אופרטורי יצירה וחילוף של פרמיונים מקיימים יחסי אנטי חילוף כלומר $\{a({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\}=\delta ({\vec {k}}_{1}-{\vec {k}}_{2})$. הדבר מבטא את הסטטיסטיקה השונה של חלקיקים אלו.