תבנית ביליניארית

תבנית בילינארית היא פונקציה בשני משתנים $B:V\times V\to F$ , כאשר $V$ מרחב וקטורי מעל שדה הבסיס $F$ , שהיא לינארית בכל אחד משני המשתנים שלה.

תבנית בילינארית מגדירה את התבנית הריבועית $Q(x)=B(x,x)$ . מעל שדה ממאפיין שונה מ-2, אפשר להציג כל תבנית ריבועית על ידי תבנית בילינארית סימטרית, ולשחזר את התבנית הבילינארית מן התבנית הריבועית על ידי הזהות הקוטבית $B(x,y)={\frac {Q(x+y)-Q(x)-Q(y)}{2}}$ . מסיבה זו, במאפיין שונה מ-2, התאוריה של תבניות בילינאריות סימטריות זהה למעשה לזו של תבניות ריבועיות. במאפיין 2 המושגים קרובים מאד, אך יש ביניהם הבדלים חשובים.

מבוא

יהיו $F$ שדה, ו-$V$ מרחב וקטורי מעל $F$ . הפונקציה $B:V\times V\to F$ היא בילינארית אם לכל $v\in V$ הפונקציות $w\mapsto B(v,w),w\mapsto B(w,v)$ הן פונקציונלים לינאריים $V\to F$ , כלומר שומרות על החיבור ועל הכפל בסקלר.

הדוגמה החשובה ביותר לתבנית בילינארית היא מכפלה פנימית מעל שדה המספרים הממשיים (מכפלה פנימית מעל שדה המרוכבים היא תבנית הרמיטית).

אפשר להכליל את ההגדרה גם לפונקציות $B:V\times W\to F$ (כאשר $V,W$ מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה), אם כי בדרך כלל המרחבים $V,W$ שווים או דואליים זה לזה. המונח אופרטור בילינארי מכסה העתקות ממכפלה של שני מרחבים וקטוריים למרחב שלישי, עם ההכללה הטבעית למודולים.

מטריצה מייצגת

אם $S=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}$ הוא בסיס של המרחב $V$ מעל $F$ , אז המטריצה המייצגת של התבנית הבילינארית $B:V\times V\to F$ היא המטריצה $[B]_{S}=(B(b_{i},b_{j}))\in M_{n}(F)$ . המעבר לבסיס אחר מחליף את המטריצה המייצגת במטריצה מהצורה $P[B]_{S}P^{tr}$ , כאשר $P$ מטריצה הפיכה. כל תבנית אפשר לייצג על ידי מטריצה. משום כך, הצורה הכללית ביותר של תבנית בילינארית מעל המרחב הווקטורי $F^{n}$ היא $B({\vec {x}},{\vec {y}})=\sum _{i,j}a_{ij}x_{i}y_{j}$ , כאשר $a_{ij}$ קבועים. תבנית זו אפשר לכתוב גם כך: $B(u,v)=u^{T}Mv$ .

מעל שדה הממשיים (או כל שדה סדור), המטריצה הריבועית $M$ מגדירה מכפלה פנימית אם ורק אם היא חיובית לחלוטין.

מרחב התבניות

מרחב התבניות הבילינאריות על מרחב וקטורי $V$ מממד $n$ , הנו מרחב וקטורי בעצמו מממד $n^{2}$ ; מסמנים אותו ${\text{Bil}}={\text{Bil}}(V)$ .

תבנית בילינארית $B$ היא:

• סימטרית אם לכל $u,v\in V$ מתקיים $B(u,v)=B(v,u)$ .
• אנטי-סימטרית אם לכל $u,v\in V$ מתקיים $B(u,v)=-B(v,u)$ .
• מתחלפת אם לכל $u\in V$ מתקיים $B(u,u)=0$ .

(תבנית היא סימטרית, אנטי-סימטרית או מתחלפת אם ורק אם המטריצה המייצגת שלה, בבסיס כלשהו, היא כזו).

את אוספי התבניות האלו מסמנים ${\text{Sym}},{\text{Asym}},{\text{Alt}}$ בהתאמה; אלו תתי-מרחבים של ${\text{Bil}}$ . מעל שדה ממאפיין שונה מ-2, יש פירוק לסכום ישר ${\text{Bil}}={\text{Sym}}\oplus {\text{Alt}}$ ו-${\text{Asym}}={\text{Alt}}$ . במאפיין 2 המצב שונה בתכלית: ${\text{Alt}}\subset {\text{Sym}}$ ואילו ${\text{Asym}}={\text{Sym}}$ .

פירוק לתתי-מרחבים

תהי $B$ תבנית בילינארית מעל מרחב $V$ . פירוק לסכום ישר $V=V_{1}\oplus V_{2}$ שעבורו $B(V_{1},V_{2})=B(V_{2},V_{1})=0$ נקרא פירוק אורתוגונלי (של המרחב), וכותבים $V=V_{1}\perp V_{2}$ . במקרה זה אפשר לשחזר את $B$ מן הצמצום שלה לתת-המרחבים $V_{1},V_{2}$ (ולכן זהו פירוק גם של התבנית). תבנית חד-ממדית שהמטריצה המייצגת שלה היא $(a)$ מסמנים $\langle a\rangle$ . סכום אורתוגונלי של תתי-מרחבים חד-ממדיים נקרא תבנית אלכסונית, ומסמנים אותו $\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle$ .

הרדיקל

לכל תבנית בילינארית $B$ (על המרחב מממד סופי $V$) יש רדיקל שמאלי ${\text{rad}}_{\ell }(B)={\bigl \{}x\in V:B(x,V)=0{\bigr \}}$ , ורדיקל ימני ${\text{rad}}_{r}(B)={\bigl \{}x\in V:B(V,x)=0{\bigr \}}$ ; לשניהם אותו ממד. אם התבנית סימטרית (או אנטי-סימטרית), הרדיקלים שווים זה לזה. תבנית היא רגולרית (או לא מנוונת) אם הרדיקל שלה הוא אפס (וסינגולרית אחרת). תבנית היא רגולרית אם ורק אם המטריצה המייצגת שלה (ביחס לבסיס כלשהו) היא הפיכה.

כל תבנית בילינרית סימטרית (במאפיין כלשהו) אפשר לפרק לסכום אורתוגונלי של שני חלקים: תבנית האפס, ועוד תבנית רגולרית.

איזוטרופיות, תבניות מטאבוליות והיפרבוליות

וקטור $x\in V$ הוא וקטור איזוטרופי אם $B(x,x)=0$ . אם אין וקטור כזה (פרט ל-0), התבנית אנאיזוטרופית. תת-מרחב $U$ של $V$ הוא תת-מרחב איזוטרופי אם $B(U,U)=0$ .

אם $B$ תבנית רגולרית, הממד של תת-מרחב איזוטרופי אינו עולה על מחצית הממד של $V$ . תבנית סימטרית שיש לה תת-מרחב איזוטרופי שממדו מחצית הממד של $V$ , נקראת תבנית מטאבולית. התבנית עם המטריצה המייצגת ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ נקראת המישור ההיפרבולי, ומסמנים אותו ב-$\mathbb {H}$ ; סכום אורתוגונלי של עותקים של המישור ההיפרבולי הוא מרחב היפרבולי. כל מרחב היפרבולי הוא מטאבולי, ובמאפיין שונה מ-2 המושגים מתלכדים. כל מרחב מטאבולי אפשר לפרק לסכום אורתוגונלי של מישורים מטאבוליים. במאפיין שונה מ-2 כל מישור מטאבולי הוא היפרבולי. במאפיין 2 מישור מטאבולי הוא או היפרבולי, או אחד מהמישורים $\langle a,-a\rangle$ . בפרט, תבנית מטאבולית מתחלפת היא היפרבולית. אם הסכום של תבנית מטאבולית ותבנית רגולרית $b$ הוא מטאבולי, אז $b$ מטאבולית.

משפט הפירוק של ויט

כל תבנית רגולרית סימטרית (במאפיין כלשהו) אפשר לפרק לסכום אורתוגונלי של תבנית אלכסונית, ומרחב היפרבולי. לפי משפט הפירוק של ויט, כל תבנית רגולרית סימטרית אפשר לפרק לסכום אורתוגונלי של תבנית אנאיזוטרופית יחידה, ותבנית מטאבולית (שהיא יחידה במאפיין שונה מ-2). במאפיין 2 החלק המטאבולי של הפירוק אינו יחיד; למשל $\langle 1\rangle \perp \langle 1,-1\rangle \cong \langle 1\rangle \perp \mathbb {H}$ .

ראו גם

• תבנית ריבועית