תורת הקבוצות - מונחים

תורת הקבוצות: ענף במתמטיקה העוסק בתכונותיהן של קבוצות, ומשמש כבסיס לאקסיומטיזציה של המתמטיקה.
- תורת הקבוצות הנאיבית: ניסוח אינטואיטיבי של הרעיונות היסודיים של תורת הקבוצות, כפי שהתפתחה במשך השנים.
- תורת הקבוצות האקסיומטית: גרסה פורמלית, בעלת ביסוס אקסיומטי מוצק, של תורת הקבוצות, שפותחה כדי למנוע סתירות ופרדוקסים כדוגמת הפרדוקס של ראסל.
קבוצה: מושג יסודי בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם.
תת-קבוצה: קבוצה $B$ היא תת־קבוצה של הקבוצה $A$ אם כל אבר של $B$ שייך גם ל־ $A$ . נסמן זאת בצורה: $B\subseteq A$ .
הקבוצה הריקה: קבוצה שאין בה אברים, והיא מסומנת בסימן $\varnothing$ (שמקורו באות הנורווגית "Ø") או בצורה $\{\}$ .
יחידון (סינגלטון בלועזית): קבוצה המכילה אבר אחד בלבד.
פעולות על קבוצות:
- איחוד: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את אברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד.
  - הפעולה איחוד היא קומוטטיבית (חילופית) ואסוציאטיבית (קיבוצית).
- חיתוך: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך.
  - הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
    - מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך, כלומר ${\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}$
- הפרש: ההפרש בין $A$ $A$ ל־ $B$ $B$ הוא קבוצה המכילה את כל האברים השייכים ל־ $A$ $A$ ולא שייכים ל־ $B$ $B$ .
  - פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
- הפרש סימטרי: ההפרש הסימטרי של הקבוצות $A,B$ $A,B$ הוא הקבוצה המורכבת מכל אברי $A$ $A$ שלא שייכים ל־ $B$ $B$ וכל אברי $B$ $B$ שלא שייכים ל־ $A$ $A$ – כלומר, כל האברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
  - הפעולה "הפרש סימטרי" היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
- מכפלה קרטזית: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות $A,B$ $A,B$ היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאברם הראשון שייך ל־ $A$ $A$ והשני שייך ל־ $B$ $B$ . ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
  - הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
- בחירה
קבוצות זרות: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה.
קבוצה אינסופית: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.
עוצמה: מושג המשקף את גודלה של קבוצה, כלומר את מספר אבריה. עוצמה של קבוצה $A$ $A$ תסומן $|A|$ $|A|$ .
- $\aleph _{0}$ (אלף אפס): עוצמתה של קבוצת מספרים הטבעיים.
- $\aleph$ או ${\mathfrak {c}}$ (עוצמת הרצף): עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים.
השערת הרצף: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין $\aleph _{0},\aleph$ , זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZFC).
קבוצה בת מנייה: קבוצה אינסופית שניתן למנות את אבריה; כלומר, כזו שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים. (לפעמים כוללים בהגדרה גם קבוצות סופיות).
קבוצת החזקה: קבוצה המכילה את כל תתי־הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה $A$ תסומן ${\mathcal {P}}(A)$ .
יחס (בינארי): קבוצה המכילה זוגות סדורים, כך שהאבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת $A$ $A$ , והאבר השני בא מקבוצה נוספת $B$ $B$ (לא בהכרח שונה מ־ $A$ $A$ ). בכתיב פורמלי: קבוצה $R$ $R$ תיקרא יחס מ־ $A$ $A$ ל־ $B$ $B$ אם ${\mathcal {R}}\subseteq A\times B$ ${\mathcal {R}}\subseteq A\times B$ .
- פונקציה: יחס בו לכל אבר של $A$ $A$ קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האבר הראשון שלו.
  - פונקציה חד-חד-ערכית: פונקציה $f:X\to Y$ תקרא חד־חד־ערכית (חח"ע) אם לכל $y$ בטווח $Y$ קיים לכל היותר $x$ אחד בתחום $X$ המקיים $f(x)=y$ .
  - פונקציה על: פונקציה $f:X\to Y$ תקרא על אם לכל $y$ בטווח $Y$ קיים לפחות $x$ אחד בתחום $X$ המקיים $f(x)=y$ .
  - פונקציה הפיכה: פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל $y$ קיים $x$ יחיד עבורו $f(x)=y$ (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל).
- יחס שקילות: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות. יחס מעל קבוצה $A$ המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה למחלקות שקילות.
- סדר חלקי: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, אנטי־סימטריות וטרנזיטיביות.
  - סדר מלא: סדר מלא הוא סדר חלקי בו כל שני אברים בקבוצה ניתנים להשוואה.
    - סדר טוב: סדר טוב הוא סדר מלא בו לכל תת־קבוצה יש אבר מינימלי.
  - שרשרת: קבוצה חלקית לקבוצה סדורה בסדר חלקי, שכל שני איברים בה ניתנים להשוואה (כלומר היא סדורה בסדר מלא).
קבוצת כל הפונקציות מקבוצה $A$ לקבוצה $B$ : קבוצה המסומנת $B^{A}$ והמכילה את כל הפונקציות מהקבוצה $A$ אל תוך הקבוצה $B$ .
הפרדוקס של ראסל: פרדוקס שהראה שתורת הקבוצות הנאיבית מכילה סתירות, והוביל לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית.
ייחוס של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.
משפטים:
- משפט קנטור: משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות. המשפט קובע שעוצמת כל קבוצה קטנה מעוצמת קבוצת תתי־קבוצות שלה.
- האלכסון של קנטור: קובע שעוצמת המספרים הממשיים גדולה מזו של הטבעיים.
- משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין: משפט האומר כי אם קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה $A$ לקבוצה $B$ , וקיימת פונקציה חח"ע מהקבוצה $B$ לקבוצה $A$ , אז שתי הקבוצות שקולות.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

תורת הקבוצות - מונחים

תפריט ניווט

חיפוש