תיאור פרמטרי של עקום

דוגמה לעקומה המתוארת על ידי משוואה פרמטרית היא עקומת פרפר טרנסצנדנטלית

באנליזה, ובפרט בגאומטריה דיפרנציאלית, תיאור פרמטרי של עקום הוא תיאור מפורש של משתני העקום באופן התלוי בפרמטר, במקום תיאור הנתון על ידי פונקציה סתומה. המעבר מתיאור של עקום על ידי תיאור מילולי או על ידי משוואה יחידה לתיאור פרמטרי נקרא "פרמטריזציה".

משוואות פרמטריות של עקומים משמשות במספר ענפים במתמטיקה ובפיזיקה, לעיתים כשהן מחליפות את התיאור המפורש של העקום. אחד הענפים בו נעשה שימוש רב בפרמטריזציה של עקומים הוא אנליזה וקטורית, למשל לצורך חישובו של אינטגרל קווי. בקינמטיקה עושים שימוש במשוואה פרמטרית כאשר קובעים את הקואורדינטות, מהירות וכל מידע אחר הנוגע לגוף המצוי בתנועה.

באופן מופשט נתון יחס בצורה של משוואה, וניתן להראות שיחס זה הוא מעין תמונה של פונקציות הנובעות מגורמים כלשהם כגון Rⁿ. לכן, על מנת לדייק יותר, ניתן להגדיר משוואה זו כהצגה פרמטרית. הצגה זו היא חלק מהגאומטריה הדיפרנציאלית של עקומות.

דוגמאות

המשוואה הפשוטה ביותר עבור פרבולה היא

$y=x^{2}\,$

משוואה זו יכולה לעבור פרמטריזציה (תהליך שבו מוסף לה פרמטר כלשהו) באמצעות שימוש בפרמטר החופשי t, ולפיכך ניתן לקבוע כי

$x=t\,$

$y=t^{2}\,$

כמובן ששימוש זה בפרמטר לא יעזור לנו כלל וכלל, כיוון שהיא משאירה אותנו באותו המצב רק עם אות אחרת. לעומת זאת, אם ניקח את המשוואה הדו-ריבועית הבאה:

$y=x^{4}+x^{2}+1\,$

נוכל לפשט את המשוואה על ידי שימוש ב-t:

$t=x^{2}\,$

$y=t^{2}+t+1\,$

וזוהי משוואה ריבועית אותה אנו יכולים לפתור בפשטות.

על אף שהדוגמה שלמעלה נראית טריוויאלית, יש להשוותה מול הפרמטריזציה של המעגל של הרדיוס a:

$x=a\cos(t)\,$

$y=a\sin(t)\,$

כדי לתאר עקומות במרחבים מרובי ממדים נוח להשתמש במשוואות פרמטריות. לדוגמה:

$x=a\cos(t)\,$

$y=a\sin(t)\,$

$z=bt\,$

מתארת עקומה במרחב תלת ממדי, שצורתה היא סליל, שהרדיוס שלה הוא a והיא עולה ב-2πb יחידות עבור כל סיבוב (ראוי לציין שהמשוואות בכל מישור זהות לאלו של מעגל; למעשה, סליל הוא רק "מעגל שלקצה שלו אין את אותו ערך z").

ביטויים כגון אלו שלמעלה נכתבים בדרך כלל בצורה הבאה:

$r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,$

דרך זו לביטוי עקומות היא מעשית ויעילה; לדוגמה, ניתן לבצע אינטגרציה וגזירה של עקומות כאלה במקביל. באופן זה, ניתן לתאר את המהירות של חלקיק בעקבות תהליך הפרמטריזציה כך:

$v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-a\sin(t),a\cos(t),b)\,$

ואת התאוצה באופן הזה:

$a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-a\cos(t),-a\sin(t),0)\,$

באופן כללי, עקומה פרמטרית היא פונקציה של פרמטר עצמאי אחד. הרעיון המקביל של שתיים (או יותר) פרמטרים עצמאיים נקרא משטח פרמטרי.

המרה של שתי משוואות פרמטריות למשוואה אחת

המרה של קבוצת משוואות פרמטריות למשוואה אחת כוללת את מציאת הפתרון של אחת המשוואות (בדרך כלל הפשוטה מביניהן) עבור הפרמטר. לאחר מכן, הפתרון של הפרמטר מוכנס למשוואה שנותרה, והתוצאה של התהליך הזה היא פישוט המשוואה שהתקבלה. ראוי לציין שהפרמטר אף פעם לא קיים כאשר המשוואה היא יחידה (כלומר, הוא חייב "להתבטל" במהלך ההמרה), ובמילים אחרות: חובה לפתור את המשוואות הסימולטניות עבור הפרמטר, והתוצאה תהיה משוואה אחת. במקרה שיש מגבלות על הערך שהפרמטר יכול לקבל, יש צורך לבצע פעולות נוספות.

ראו גם

• עקום בזייה