מספר סודר

Click to Shrink Back

Click to Enlarge

---

תצוגה גרפית של כל הסודרים מ-0 עד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega^\omega}

בתורת הקבוצות, מספר סודר (באנגלית: ordinal – אורדינל) הוא טיפוס סדר של קבוצה סדורה היטב.

המוטיבציה להגדרת המספרים הסודרים מגיעה מהרצון להכליל את התכונות המועילות של המספרים הטבעיים. למספרים הטבעיים שני תפקידים עיקריים: הראשון הוא לייצג כמות ("שבעה גמדים") והשני הוא לייצג מקום בסדרה ("הגמד השביעי"). במסגרת תורת הקבוצות מגדירים את המספרים המונים כהכללה של המספרים הטבעיים במובן הראשון, כך שניתן יהיה לייצג גם כמויות אינסופיות. המספרים הסודרים מוגדרים במטרה להכליל את המובן השני כך שניתן יהיה לדבר על איברים במקומות "אינסופיים" בסדרה.

המספרים הסודרים הראשונים הם המספרים הטבעיים 0, 1, 2, 3,.... לאחריהם מגיע הסודר האינסופי הראשון, ω (אומגה). ω מתאפיין בכך שהוא "הסודר הקטן ביותר שגדול מכל מספר טבעי". לאחריו מגיעים הסודרים:

ω + 1, ω + 2, …, ω·2, ω·2 + 1, …, ω², …, ω³, …, ω^ω, …, ω^ωω, …, ε₀, ….

את רעיון המספרים הסודרים הגה לראשונה אבי תורת הקבוצות, גאורג קנטור, במסגרת עבודתו על קבוצות נגזרות.

הגדרה

למספרים הסודרים מספר הגדרות. ההגדרה הנפוצה היא:

קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} נקראת סודר אם מתקיימים התנאים הבאים:

1. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} קבוצה טרנזיטיבית.
2. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} סדורה היטב ביחס השייכות. (כלומר, הצמצום של יחס השייכות ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} הוא סדר טוב)

התכונה הראשונה שמופיעה מאפשרת הגדרת סדר בין סודרים: עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha,\beta} סודרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha<\beta \iff \alpha\in\beta} . סדר זה הוא סדר טוב.

הגדרת פעולת העוקב: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(\alpha)=\alpha\cup \{\alpha\}} .

סודר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} ייקרא סודר עוקב, אם קיים סודר אחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha=S(\beta)} , וסודר גבולי אחרת (לעיתים לא מתייחסים ל-0 כאל סודר גבולי מטעמי נוחות).
סודר מונה (לעיתים נקרא "סודר פותח") הוא סודר שאינו שווה-עוצמה לאף סודר קטן יותר.

אקסיומת היסוד מבטיחה שאם קבוצה טרנזיטיבית סדורה קווית ביחס השייכות, אז היא סדורה היטב באותו יחס.

הסודרים הסופיים

סודר נקרא סודר סופי אם הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0=\{\}=\empty} או שהוא עוקב של סודר סופי.

בניית המספרים הטבעיים של ג'ון פון נוימן מתלכדת עם המספרים הסודרים הסופיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} 0 &&&&&=\{\} &&=\empty \\ 1 &&&=S(0) &&=\{0\} &&=\{\empty\} \\ 2 &&&=S(1) &&=\{0,1\} &&=\{\empty,\{\empty\}\} \\ 3 &&&=S(2) &&=\{0,1,2\} &&=\{\empty,\{\empty\}, \{\empty,\{\empty\}\}\} \\ \dots \\ n &&&=S(n-1) &&=\{0,1,2,...,n-1\} \end{align}}

הסודרים הסופיים הם סודרים עוקבים וסודרים מונים.

סודרים נוספים

קובץ:Omega squared.png

המחשה של מבנה המספרים הסודרים: אינסוף סדרות של מספרים אינסופיים.

לפי אקסיומת הקבוצה האינסופית קיימת קבוצת כל הסודרים הסופיים.
קבוצה זו: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega=\bigcup_n n=\{0,1,2,...\}} , היא הסודר האינסופי הקטן ביותר.

ניתן להמשיך ולהגדיר סודרים נוספים בעזרת פעולת העוקב ובעזרת איחוד הסודרים הקודמים. למשל:

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega+1=S(\omega)=\omega\cup \{\omega\}=\{0,1,2,...,\omega\}}
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega\cdot 2=0\cup 1\cup 2\cup ...\cup \omega\cup \omega+1\cup \omega+2\cup ...=\{0,1,2,...,\omega,\omega+1,\omega+2,...\}}

תכונות

• כל איבר של סודר הוא סודר בעצמו.
• אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} סודר, אז גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha\cup \{\alpha\}} סודר.
• אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} היא קבוצה של סודרים, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigcup_{\alpha\in A} \alpha} הוא סודר.
• אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} היא קבוצה (או מחלקה) של סודרים, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigcap_{\alpha\in A} \alpha} הוא סודר. סודר זה הוא המינימום ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} .
• עבור שני סודרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha,\beta} מתקיים בדיוק אחד מהבאים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha=\beta} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha<\beta} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta<\alpha} .
• קבוצת הסודרים הסופיים מהווים מודל לתורה של אקסיומות פאנו.

תכונה מעניינת נוספת שמתקבלת היא הפרדוקס של בורלי-פורטי, ששולל את קיום "קבוצת כל המספרים הסודרים". משום כך, לא ניתן לדבר בתורת הקבוצות על "קבוצת כל המספרים הסודרים", כשם שבגלל הפרדוקס של ראסל לא ניתן לדבר על "קבוצת כל הקבוצות". בלשון תורת הקבוצות, נאמר כי אוסף כל הסודרים הוא מחלקה ולא קבוצה.

לכל קבוצה וסדר טוב שלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (A,\leq)} קיים ויחיד סודר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\cong \alpha} , כאשר הסימון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cong} מציין שקיים איזומורפיזם ביניהם (פונקציה חד-חד-ערכית ועל, ששומרת את הסדר בין האיברים). הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} נקרא טיפוס הסדר של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (A,\leq)} ומסומן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{ort}(A,\leq)} .
נציין כי פעמים רבות ניתן להגדיר מספר סדרים טובים על אותה קבוצה והם יכולים להשרות טיפוס סדר שונה.

מהתכונה הנ"ל ניתן להסיק תכונה מעניינת נוספת: תהי קבוצה שניתנת לסידור טוב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} (כלומר, שניתן להגדיר עליה סדר טוב אחד או יותר). נסתכל על קבוצת הסודרים שאיזומורפיים לה:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O=\{\mathrm{ort}(A,\leq)|\leq \text{well order of }A\}=\{\alpha|\alpha \text{ ordinal}, A\cong \alpha\}} . הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O} היא קבוצה של סודרים. כפי שאמרנו, חיתוך של קבוצת סודרים הוא סודר, ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigcap O=\min O} סודר.
כעת נוכל להגדיר את העוצמה של הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} כסודר המינימלי שאיזומורפי לה, קרי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{card}(A)=|A|=\min O=\bigcap O} .
ניתן להראות שסודר מסוג זה הוא תמיד סודר מונה.

הקשר בין סודרים לעוצמות

אחת המטרות של הגדרת הסודרים היא לתת ביסוס פורמלי למושג העוצמה, ואכן ניתן להשיג מטרה זו בהנחת אקסיומת הבחירה. במערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל, אקסיומת הבחירה שקולה למשפט הסדר הטוב, ולכן כל קבוצה ניתנת לסידור טוב, ומכאן הגדרת העוצמה שהוצגה קודם מוגדרת היטב עבור כל קבוצה.

נוכל להגדיר את המספרים המונים בתור הסודרים המונים.
באופן זה נזהה כל מונה כסודר המונה שעוצמתו היא המונה הנ"ל, למשל את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph_0} (אָלֶף אֶפֶס) נזהה עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} .

תחת הגדרה זו ישנה טריכוטומיה בין עוצמות של קבוצות; כלומר, עבור שתי קבוצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A,B} מתקיים בדיוק אחד מהבאים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |A|=|B|} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |A|<|B|} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |B|<|A|} (איננו יודעים עובדה זו ללא אקסיומת הבחירה).

פעולות בין סודרים

כפי שניתן להגדיר פעולות על מספרים מונים, ניתן גם להגדיר פעולות על מספרים סודרים.

פעולות על סודרים אינן בהכרח מתלכדות עם פעולות על מונים . למשל, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} מזוהה עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph_0} , אולם לפי ההגדרה מטה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^\omega=\omega} , בעוד שלפי משפט קנטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{\aleph_0}>\aleph_0} .

חיבור

ניתן להגדיר חיבור סודרים במספר דרכים; נציג שתיים מתוכן:

הגדרה 1

הגדרה זו היא הגדרה אינדוקטיבית.

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha+0=\alpha} , עבור חיבור 0
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha+(\beta+1)=(\alpha+\beta)+1=S(\alpha+\beta)} , עבור חיבור סודר עוקב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta+1}
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha+\beta=\bigcup_{\gamma<\beta} \alpha+\gamma} , עבור חיבור סודר גבולי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta}

הגדרה 2

נגדיר את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha+\beta} באופן הבא: נסתכל על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha\times \{0\}\cup\beta\times \{1\}} יחד עם יחס הסדר בו איברי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} שומרים על סדרם הפנימי, איברי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} שומרים על סדרם הפנימי ואיברי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} קטנים מאיברי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} . ניתן להראות, כי יחס סדר זה הוא יחס סדר טוב. כעת ניתן להגדיר את החיבור כטיפוס הסדר (ראה הגדרה מעלה) של האיחוד הנ"ל, תחת יחס הסדר המדובר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha+\beta=\mathrm{ort}(\alpha\times \{0\}\cup\beta\times \{1\},\leq)} .

ניתן להראות, כי שתי ההגדרות שהוצגו שקולות זו לזו.

כפל

באופן דומה, ניתן להגדיר כפל סודרים במספר דרכים; נציג שתיים מתוכן:

הגדרה 1

הגדרה זו היא הגדרה אינדוקטיבית, בדומה להגדרת החיבור.

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha\cdot 0=0} , עבור כפל ב-0
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha\cdot (\beta+1)=(\alpha\cdot \beta)+\alpha} , עבור כפל בסודר עוקב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta+1}
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha\cdot \beta=\bigcup_{\gamma<\beta} \alpha\cdot \gamma} , עבור כפל בסודר גבולי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta}

הגדרה 2

באופן דומה להגדרת החיבור השנייה, נגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha\cdot \beta=\mathrm{ort}(\alpha\times\beta, \leq)} כאשר יחס הסדר הוא יחס הסדר הלקסיקוגרפי.

חזקה

באופן דומה, ניתן להגדיר העלאה בחזקת סודרים במספר דרכים; נציג את אחת הדרכים.

בדרך זו נגדיר חזקה באופן אינדוקטיבי.

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha^0=1} , עבור העלאה בחזקת 0
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha^{\beta+1}=(\alpha^\beta)\cdot \alpha} , עבור העלאה בחזקת סודר עוקב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta+1}
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha^\beta=\bigcup_{\gamma<\beta} \alpha^\gamma} , עבור העלאה בחזקת סודר גבולי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta}

קישורים חיצוניים

• בעז צבאן, החלום של קנטור, המחלקה למתמטיקה ומדעי המחשב, אוניברסיטת בר-אילן.
• גדי אלכסנדרוביץ', איך קנטור המציא את הסודרים?, באתר "לא מדויק", 23 במאי 2011
• מספר סודר, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0