אקספוננט ליאפונוב

במתמטיקה אקספוננטי ליאפונוב או אקספוננט ליאפונוב טיפוסי של מערכת הדינמיות הוא מספר המאפיין את שיעור ההפרדה של מסלולים סגורים אינפיטיסימלית. כמותית, שני מסלולים במרחב הפאזה עם הבדל ראשוני של $\delta \mathbf {Z} _{0}$ יינתן כך:

$|\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|\,$

כאשר $\lambda$ הוא אקספוננט ליאפונוב.

שיעור ההפרדה יכול להיות שונה עבור סטיות שונות של וקטור ההפרדה הראשוני. לפיכך קיימים ספקטרומים של אקספוננטי ליאפונוב כמספר הממדים של מרחב הפאזה. נהוג להתייחס לאקספוננט ליאפונוב המרבי (MLE), מפני שהוא מראה בצורה הטובה ביותר את יכולת החיזוי עבור מערכת דינמית. אקספוננט ליאפונוב המרבי נילקח בדרך כלל לאינדיקציה על כמה המערכת כאוטית (בתוספת לתנאים נוספים שיהיו במערכת). וקטור ההפרדה הראשוני לרוב יכיל רכיבים הקשורים באקספוננט המרבי, ובגלל שמדובר בגידול מעריכי (אקספוננציאלי), ההשפעה תגדל יותר ויותר לאורך זמן.

אקספוננט ליאפונוב קרוי על שם אלכסנדר ליאפונוב.

ההגדרה של אקספוננט ליאפונוב המקסימלי

אקספוננט ליאפונוב המקסימלי מוגדר כך:

$\lambda =\lim _{t\to \infty }\lim _{\delta \mathbf {Z} _{0}\to 0}{\frac {1}{t}}\ln {\frac {|\delta \mathbf {Z} (t)|}{|\delta \mathbf {Z} _{0}|}}$

הגבול $\delta \mathbf {Z} _{0}\to 0$ מבטיח את תוקפו של קירוב לינארי בכל זמן. עבור מערכות זמן בדידות (כגון מפות) $x_{n+1}=f(x_{n})$ עבור מסלול המתחיל ב-$x_{0}$ האקספוננט המקסימלי מוגדר כך:

$\lambda (x_{0})=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln |f'(x_{i})|$